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	Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie

${\frac {U}{c}}={\frac {1}{3\cdot 10^{3}}}+{\frac {1}{3\cdot 3^{3}\cdot 10^{9}}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{5}\cdot 10^{15}}}+\dots$

und die repräsentierende Länge $U$ ist beiläufig um 3 mm größer von 100 km. Der Geschwindigkeit von 100000 km/sec entspricht die Länge von 103700 km.

Ziehen wir noch zwei Geschwindigkeiten von $\beta$-Strahlen in Betracht, die in dem berühmten Kaufmannschen Versuche berechnet wurden und denen die Geschwindigkeitsverhältnisse 0,7202 und 0,9326 entsprechen. Sie betragen etwa 216060 und 279780 km/sec und sie werden repräsentiert durch die Längen von 272400 und 503400 km.

Für $v=c$ hat man $U=\infty$.

In graphischer Darstellung lassen sich diese Verhältnisse sehr leicht überblicken. Nimmt

Fig. 1.

man $u$ als Abszisse und ${\tfrac {v}{c}}$ als Ordinate, so wird (1) durch die Kurve $T$ dargestellt. Der gewöhnlichen Festsetzung $u={\tfrac {v}{c}}$ entspricht die Gerade $G$ bzw. das erste Glied in der unendlichen Reihe (2). Diese Gerade ist die Inflexionstangente von $T$ in $O$, schmiegt sich also der Kurve in ziemlich weiter Umgebung des Koordinatenanfangspunktes gut an.

Die Fig. 1 kann uns bei der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten gute Dienste leisten. Man kann zur resultierenden Länge $U$ gleich die entsprechende Geschwindigkeit $v$ aus der Figur entnehmen.

Schließen die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ den Winkel $\alpha =0$ ein, liegen sie also in derselben Richtung, so ist $u=u_{1}+u_{2}$. Die resultierende Geschwindigkeit folgt aus der Formel

$\mathrm {th} \,u={\frac {\mathrm {th} \,u_{1}+\mathrm {th} \,u_{2}}{1+\mathrm {th} \,u_{1}\,\mathrm {th} \,u_{2}}},$

oder

$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}.$

Die Resultante ist zwar kleiner als die Summe der Komponenten, aber sie wird doch dargestellt wie auch in der gewöhnlichen Mechanik durch eine Länge, welche der Summe der die Komponenten darstellenden Längen gleichkommt. Es ist nämlich in diesem Falle $U=U_{1}+U_{2}$.

Mit dieser Festsetzung stimmt die Figur im sechsten Göttinger Vortrage Poincarés nicht überein^[1].

Komponiert man zwei gleiche Geschwindigkeiten, denen die Länge $U_{1}$ entspricht, so wird die Resultante durch die Länge $2U_{1}$ repräsentiert.

2. Lorentz-Einsteinsche Transformation als Translation.

Nehmen wir diese Transformation in der Form, die ich ihr gegeben habe^[2],

$\left.{\begin{array}{c}l'=-x\ \mathrm {sh} \,u+l\ \mathrm {ch} \,u,\\x'=x\ \mathrm {ch} \,u-l\ \mathrm {sh} \,u,\\y'=y,\ z'=z.\end{array}}\right\}$

(4)

Die Veränderlichen $x$, $y$, $z$, $l$ fasse ich als homogene Weierstraßsche Koordinaten im Lobatschefskijschen dreidimensionalen Raume auf. Sind $X$, $Y$, $Z$ Lobatschefskijsche rechtwinklige Koordinaten, $\xi$, $\eta$, $\zeta$ die vom Punkte $M$ auf die Ebenen des rechtwinkligen Koordinatensystems gefällten Lote und $r$ die Entfernung jenes Punktes vom Koordinatenanfang, so erhält man aus der leicht zu entwerfenden Figur folgende Gleichungen

$x=\mathrm {sh} \,\xi =\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z,$

(5)

$y=\mathrm {sh} \,\eta =\mathrm {sh} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z,$

(6)

$z=\mathrm {sh} \,\zeta =\mathrm {sh} \,Z,$

(7)

$l=\mathrm {ch} \,r=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z.$

(8)

Diese Weierstraßschen Koordinaten erfüllen, wie leicht ersichtlich, die quadratische Gleichung^[3]

$l^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$

(9)

Dies ist eben die Invariante erster Art der durch die Gleichungen (4), oder durch

$U\,f=-l{\frac {\partial f}{\partial x}}-x{\frac {\partial f}{\partial l}}$

(10)

definierten Transformation.

Nimmt man

$y=y'=c_{1},\ z=z'=c_{2},$

(11)

so erhält man zwei Abstandsflächen^[4]

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1. H. Poincaré, Sechs Vorträge aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik, 1910, S. 52.
2. Diese Zeitschr. 11, 93, 1910.
3. Für diese Koordinaten siehe Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, S. 166, und Killing, Die nichteuklidischen Raumformen.
4. Allgemeine Gleichung der Abstandsfläche gab ich in einer Abhandlung im Rad jugoslavenske akademije 175, 215–240, 1908. Die Mittelebene war dabei bestimmt durch die Enden $\xi$, $\eta$ und den Winkel $\alpha$. Über diese Bestimmung der Ebene siehe meine Arbeit: Zur nichteuklidischen analytischen Geometrie in Atti del IV congresso dei matematici, Roma 1909, 2, 213–226.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 289. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910b.djvu/3&oldid=- (Version vom 1.8.2018)