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	Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie

von der Geschwindigkeit ${\tfrac {c}{v}}=\mathrm {th} \,u$ bedingte Raumzeittransformation wird dann durch die Weierstraßschen Koordinaten des Punktes $M$ vollständig charakterisiert. Es ist $NN'=ON=u$ zu setzen. Dieser spezielle Fall, der in Fig. 3 dargestellt ist, führt uns dazu, die Zeiteinheit des Beobachters in einem bestimmten Punkte der Abstandslinie als hyperbolischen Kosinus seiner Lobatschefskijschen Abszisse zu nehmen.

Für die Beobachter in $M$ und $M'$ (Fig. 2) sind bezügliche Zeiteinheiten

$\tau =\mathrm {ch} \,ON,\ \tau '=\mathrm {ch} \,ON'.$

(22)

Aus den rechtwinkligen Dreiecken $OMN$ und $OM'N'$ ersehen wir, daß

${\frac {\mathrm {ch} \,OM}{\mathrm {ch} \,ON}}={\frac {\mathrm {ch} \,OM'}{\mathrm {ch} \,ON'}}=\mathrm {ch} \,b$

oder

${\frac {l}{\tau }}={\frac {l'}{\tau '}}$

(23)

konstant ist. Jene Beobachter sind also überzeugt, daß sich ihre Zeit bei der Bewegung nicht geändert hat. Diese Veränderung könnte nur ein in Ruhe sich befindlicher Beobachter konstatieren.

Nehmen wir den Beobachter $M'$ wieder in dem Durchschnittspunkte der Abstandslinie mit der Ordinatenachse (Fig. 3), dann ist seine Zeiteinheit $\tau '=1$, während die Zeiteinheit $\tau$ des Beobachters in $M$ gleich $\mathrm {ch} \,u$ wird. Es ist also

$\tau '={\frac {\tau }{\mathrm {ch} \,u}}.$

(24)

Die Formel (23) gibt

$l'={\frac {l}{\mathrm {ch} \,u}},$

(25)

und das ist das Resultat Einsteinscher Untersuchung^[1].

Das in der Formel (23) und Fig. 3 dargestellte Verhältnis wird gestört, wenn man eine Verschiebung des Koordinatenanfangspunktes auf der Ordinatenachse vornimmt. Die Linie $MM'$ hört dann auf, eine Abstandslinie mit der Abszissenachse als Mittellinie zu sein. Die $X_{1}$-Achse nähert sich ihr immer mehr, schneidet sie und entfernt sich dann von ihr bis zur Unendlichkeit. Die $X_{2}$-Achse entfernt sich gleich von ihr. Die Linien $X$, $X_{1}$, $X_{2}$ haben die Ordinatenachse $Y$ zum gemeinsamen Lote, gehen also in der Lobatschefskijschen Geometrie um so weiter auseinander, je weiter sie verlängert werden.

Fig. 4.

4. Die gleichförmige Bewegung.

Bei den Translationen längs den Abstandslinien zur $X$-Achse bleibt die Schar der Normalen zur $X$-Achse unverändert und umgekehrt; einzelne Normalen werden untereinander permutiert. Die Invarianten zweiter Art der infinitesimalen Transformation (10) sind diese Normalen

$\omega (l,x)={\frac {l}{x}}-\coth u=0,$

(26)

denn es ist

$U(\omega )=-1+\omega ^{2}=F(\omega ).$

In den Lobatschefskijschen rechtwinkligen Koordinaten ist die Gleichung der Normalen im Punkte $(u,0)$

$X=u.$

(27)

Setzt man dies in die Formeln (14), so wird

$x=\mathrm {sh} \,u\,\mathrm {ch} \,Y,\ l=\mathrm {ch} \,u\,\mathrm {ch} \,Y,$

und daraus erhält man sofort die Gleichung (26).

Fig. 5.

Bei gleichförmiger Bewegung ist das Verhältnis der Maßzahl des Weges zur Maßzahl der Zeit gleich der Maßzahl der Geschwindigkeit. Es ist also

$x:{\frac {\mathrm {ch} \,r}{\mathrm {ch} \,u}}={\frac {v}{c}},$

oder

${\frac {x}{l}}=\mathrm {th} \,u.$

Das Bild der gleichförmigen Bewegung ist die Normale zur $X$-Achse (Fig. 5). Durch die

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1. A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Ann. d. Phys. 17, 904, 1905.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 291. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910b.djvu/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)