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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

8. Das Dopplersche Prinzip. Aus der Gleichung (43) ersehen wir, welche Frequenz ein längs der $X$-Achse mit der Geschwindigkeit $u$ bewegter Beobachter finden wird. Der Lichtstrahl schließt mit der $X$-Achse (im System $S$ gemessen) den Winkel $\varphi$ ein. Als Parallelwinkel aufgefaßt entspricht diesem Winkel die Strecke $u_{1}$, und es besteht sodann die Relation

(49)	$\cos \varphi =\mathrm {th} \,u_{1}$,

und (43) geht in

(50)	$\nu '=\nu \left(\mathrm {ch} \,u-\mathrm {th} \,u_{1}\mathrm {sh} \,u\right)$

über, woraus man leicht

(51)	${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \ u_{1}}}$

erhält. Nehmen wir zwei äquidistante Linien (Fig. 10) mit der $X$-Achse als gemeinsamen Mittellinie und mit den Parametern $0A=u_{1},0A_{1}=u_{1}-u$. Die Bogen dieser zwei Abstandslinien, die von der $Y$-Achse und der Normalen im Punkte $C$ der $X$-Achse abgegrenzt werden, sind

$AB=0C\ \mathrm {ch} \,u_{1},\ A_{1}B_{1}=0C\ \mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right)$.

Es ist also

(52)	${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {A_{1}B_{1}}{AB}}$.

Das Verhältnis der Frequenzen $\nu$ und $\nu '$ läßt sich im allgemeinen Falle darstellen als das Verhältnis der Bogen zweier Abstandslinien zwischen gemeinsamen Normalen.

Nehmen wir jetzt an, das Licht komme in der Richtung der $X$-Achse. Dem Parallelwinkel $\varphi =0$ entspricht die Länge $u_{1}=\infty$, deren hyperbolische Tangente gleich eins ist. Aus (43) erhält man in diesem Falle

$\nu '=\nu \left(\mathrm {ch} \,u-\mathrm {sh} \,u\right)$

oder

(53)	$\nu '=\nu \cdot e^{-u}$.

Für $u_{1}=\infty$ gehen jene Abstandslinien in die Grenzkreise mit den gemeinsamen Achsen über. Der Formel (53) entspricht also die Fig. 11. Das Verhältnis der Frequenzen läßt sich in diesem speziellen Falle darstellen als das Verhältnis zweier Grenzkreisbogen zwischen zwei gemeinsamen Achsen.

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Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 121. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/19&oldid=- (Version vom 1.8.2018)