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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

Aus der Formel (1) folgt

$e^{-u}={\sqrt {\frac {1-{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}}}}$,

und so erhält man den Einsteinschen Ausdruck

(54)	$\nu '=\nu {\sqrt {\frac {1-{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}}}}$.

Aus (53) folgt weiter

$\nu '=\nu \left(1-u+{\frac {u^{2}}{2!}}-{\frac {u^{3}}{3!}}+\dots \right)$.

Für kleine Werte von $u$ kann man die höheren Potenzen vernachlässigen; ersetzt man dann noch die Geschwindigkeit $u$ durch die reduzierte Geschwindigkeit ${\tfrac {v}{c}}$, so erhält man den Ausdruck für das Dopplersche Prinzip in der gewöhnlichen Mechanik

(55)	$\nu '=\nu \left(1-{\frac {v}{c}}\right)$.

Man beachte, daß im gestrichenen Bezugssystem $v'=-v$ ist.

In der euklidischen Geometrie reduzieren sich die Abstandslinien und die Grenzkreise auf Parallelen zur gegebenen Geraden. Den Ausdruck (55) kann man leicht graphisch versinnlichen mittels der Abschnitte paralleler Transversalen zwischen den Schenkeln eines Winkels, denn es besteht die Relation $\nu :\nu '=c:\left(c-v\right)$.

9. Die Aberration. Im gestrichenen System $S'$ schließt der genommene Lichtstrahl den Winkel $\varphi '$ mit der $X'$-Achse. Bezeichnet man mit $u'_{1}$ die Strecke, die dem Parallelwinkel $\varphi '$ entspricht, so geht (47) über in die Gleichung

$\mathrm {th} \,u'_{1}={\frac {\mathrm {ch} \,u\ \mathrm {th} \,u_{1}-\mathrm {sh} \,u}{\mathrm {ch} \,u-\mathrm {th} \,u_{1}\mathrm {sh} \,u}}=\mathrm {th} \,\left(u_{1}-u\right)$,

oder

(56)	$u'_{1}=u_{1}-u$.

Auf Grund dieser Aberrationsgleichung haben wir folgende Konstruktion des abgelenkten Lichtstrahles. Der Lichtstrahl $T$, von einer unendlich fernen Lichtquelle $J$ kommend, treffe die $X$-Achse im Punkte $M$ unter dem spitzen Winkel $\varphi$. Macht man $MP=u_{1}$, so ist $\varphi =\Pi \left(u_{1}\right)$. Man trage dann im Sinne der wachsenden Abszissen die Strecke $MN=u$ ab und ziehe von $N$ aus die Lobatschefskijsche Parallele zu $T$. Diese Parallele $T'$ schließt mit der $X$-Achse den Winkel $\varphi '$ ein, denn es ist $\varphi '=\Pi \left(u_{1}-u\right)=\Pi \left(u'_{1}\right)$.

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Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 122. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/20&oldid=- (Version vom 1.8.2018)