Zedler:Hexagonal-Zahl

 

Hexagonal-Zahl, Numerus hexagonus. Ist eine Polygonal- oder Figürliche-Zahl, welche der Summe derer correspondirenden Glieder in einer arithmetischen Progression gleich ist, in welcher die Glieder allezeit um 4. von einander unterschieden sind, und welche sich von 1. anfänget. Es ist demnach die arithmetische Progression

1, 5, 9, 13, 17, 21, etc.

und die hexagonal-Zahlen

1, 6, 15, 28, 45, 66, etc.

denn es ist 6. = 1 + 5, (gleich der Summe der Glieder 1 und 5, von Anfange der arithmetischen Progression bis zu der in der untern Reyhe correspondirenden Hexagonal-Zahl 6); ingleichen 15 = 1 + 5 + 9, 28 = 1 + 5 + 9 + 13. etc. Der Name dieser Zahlen rühret daher, weil siech die Anzahl ihrer Einheiten in die Ecken eines regulairen Sechs-Eckes rengiren lassen, wie aus dem Titul: figuratus numerans erhellet. Unter eben diesem Titul ist dargethan worden, daß eine jede Polygonal-Zahl so groß sey, als

${n^{2}*{\overline {a-2}}-n*{\overline {a-4}} \over 2}$

allwo a die Anzahl der Winckel in derjenigen geometrischen Figur bemercket, von der die Polygonal-Zahl den Namen führet; n hingegen die Anzahl der Seiten Glieder in der arithmetischen Progression, welche summiret werden müssen, um aus deren Summa die Polygonal-Zahl zu erhalten; da nun ein Sechs-Eck, 6. Winckel hat, so ist bey einer Hexagonal-Zahl a = 6, folglich die Grösse derselben

${n^{2}*{\overline {6-2}}-n*{\overline {6-4}} \over 2}$

$={n^{2}*4-n*2 \over 2}=n^{2}*2-n=2n^{2}-n$

allwo die Anzahl der Glieder in der arithmetischen Progression, deren Summe die gesuchte Hexagonal-Zahl exhibiret, noch indeterminiret ist. Wenn man also diese bestimmet; so kann man in jeden Falle vermittelst dieser formul 2n² - n die gesuchte Hexagonal-Zahl ausfündig machen. z. E. Es sollen in obiger arithmetischen Progression

1, 5, 9, 13, 17, 21 etc.

fünff Glieder (nemlich 1, 5, 9, 13, 17) summiret werden; so ist n = 5; folglich die gesuchte Hexagonal-Zahl 2n² - n = 2 * 25 - 5 = 50 - 5 = 45, welche Zahl auch unter denen Hexagonal-Zahlen in obiger Reyhe denen in der arithmetrischen Progression vorstehenden Gliedern biß auf 17. respondiret und ihrer Summe gleich ist.