Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/20

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Hieraus folgt

(49c) \begin{cases}
2\mathfrak{E'\dot{P}} & =2(\epsilon-1)\left\{ \mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{\dot{E}}'_{x}+k^{-2}\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{\dot{E}}'_{y}+k^{-2}\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{\dot{E}}'_{z}\right\} \\
\\ & +4\mathfrak{\dot{q}}_{x}|\mathfrak{q}|k^{-2}\left\{ \mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{y}+\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{z}\right\} \\
\\ & -2\frac{\mathfrak{\dot{q}}_{y}}{|\mathfrak{q}|}\left\{ \mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{y}-\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{x}\right\} -2\frac{\mathfrak{\dot{q}}_{z}}{|\mathfrak{q}|}\left\{ \mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{z}-\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{x}\right\} ,\end{cases}

während (49a) ergiebt

(49d) \frac{d}{dt}(\mathfrak{E'P})=2(\epsilon-1)\left\{ \mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{\dot{E}}'_{x}+k^{-2}\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{\dot{E}}'_{y}+k^{-2}\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{\dot{E}}'_{z}\right\} +2\mathfrak{\dot{q}}_{x}|\mathfrak{q}|k^{-2}\left\{ \mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{y}+\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{z}\right\}

Da man nun, nach (48c), hat

\begin{array}{c}
\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{y}-\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{x}=|\mathfrak{q}|^{2}\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{y},\\
\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{z}-\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{x}=|\mathfrak{q}|^{2}\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{z},\end{array}

so ergiebt sich

(49c) \begin{cases}
\mathfrak{E'\dot{P}-\dot{P}E'} & =2\mathfrak{\dot{q}}_{x}|\mathfrak{q}|k^{-2}\left\{ \mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{y}+\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{z}\right\} \\
 & -2\mathfrak{\dot{q}}_{y}|\mathfrak{q}|\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{y}-2\mathfrak{\dot{q}}_{z}|\mathfrak{q}|\mathfrak{E}'_{x}\mathfrak{P}_{z}.\end{cases}

Die Einführung dieses Ausdruckes, und des ihm entsprechenden für den magnetischen Term, in (31a), ergiebt, an Stelle des Wertes (32) der Impulsdichte, den berichtigten Wert

(50) \begin{cases}
c\mathfrak{g} & =\mathfrak{[EH]+\left[E'[qP]\right]+\left[H'[qM]\right]}\\
 & +\mathfrak{q}|\mathfrak{q}|^{2}k^{-2}\left\{ \mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{y}+\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{z}+\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{M}_{y}+\mathfrak{H}'_{z}\mathfrak{M}_{z}\right\} \end{cases}

Dass die Relation (18a) erfüllt bleibt, ist leicht zu verificieren.

Wird der Wert (50) von c\mathfrak{g} in die allgemeine Formel (19) für die Energiedichte eingetragen, so folgt an Stelle von (33)

(51) \begin{cases}
\psi & =\frac{1}{2}\mathfrak{E}^{2}+\frac{1}{2}\mathfrak{H}^{2}\\
 & +\frac{1}{2}\mathfrak{E'P}+\frac{1}{2}\mathfrak{H'M}+|\mathfrak{q}|^{2}k^{-2}\left\{ \mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{y}+\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{z}+\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{M}_{y}+\mathfrak{H}'_{z}\mathfrak{M}_{z}\right\} \end{cases}

Auch erhält man auf Grund von (20) für den Energiestrom die berichtigte Formel

(52) \begin{cases}
\frac{\mathfrak{S}}{c} & =\mathfrak{[EH]+\left[E'[qP]\right]+\left[H'[qM]\right]}\\
 & +\mathfrak{q}|\mathfrak{q}|^{2}k^{-2}\left\{ \mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{P}_{y}+\mathfrak{E}'_{z}\mathfrak{P}_{z}+\mathfrak{E}'_{y}\mathfrak{M}_{y}+\mathfrak{H}'_{z}\mathfrak{M}_{z}\right\} \end{cases}

Aus (50) und (52) ersieht man, dass auch in der Lorentz’schen Theorie, wenn man sie in der angegebenen Weise modificiert, zwischen Energiestrom und Impulsdichte die Beziehung besteht

(53) \frac{\mathfrak{S}}{c}=c\mathfrak{g},

die uns bereits in der Theorie von Minkowski begegnet ist.

Dieses Ergebnis war vorauszusehen; nachdem die Gleichungen, welche \mathfrak{D} und \mathfrak{B} mit \mathfrak{E'} und \mathfrak{H'} verknüpfen, in Übereinstimmung gebracht sind, besteht zwischen den beiden Theorieen, vom Standpunkte unseres Systemes aus, kein wesentlicher Unterschied

Empfohlene Zitierweise:

Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28, Palermo 1909, Seite 20. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/20&oldid=1644941 (Version vom 4.09.2011)