Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/11

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(14) \varrho'\mathfrak{w'_{v}}=\frac{\varrho\mathfrak{w_{v}}-\varrho q}{\sqrt{1-q^{2}}},\ \varrho'\mathfrak{w'_{\bar{v}}}=\varrho\mathfrak{w_{\bar{v}}},

ferner[1]

(15) \begin{array}{c}
(\mathfrak{e}'+i\mathfrak{m}')_{\mathfrak{\bar{v}}}=\frac{(\mathfrak{e}+i\mathfrak{m}-i[\mathfrak{w},\ \mathfrak{e}+i\mathfrak{m}])_{\bar{v}}}{\sqrt{1-q^{2}}}\\
(\mathfrak{e}'+i\mathfrak{m}')_{\mathfrak{v}}=(\mathfrak{e}+i\mathfrak{m}-i[\mathfrak{w},\ \mathfrak{e}+i\mathfrak{m}])_{\mathfrak{v}}\end{array},

ist, so folgt der Satz, daß das Gleichungssystem (1), (II) und (II), (IV) jedesmal in das genau entsprechende System zwischen den mit Strichen versehenen Größen übergeht.

Die Auflösung der Gleichungen (10), (11), (12) führt auf:

(16) \mathfrak{r_{v}}=\frac{\mathfrak{r'_{v}}+qt'}{\sqrt{1-q^{2}}},\ \mathfrak{r_{\bar{v}}}=\mathfrak{r'_{\bar{v}}},\ t=\frac{q\mathfrak{r'_{v}}+t'}{\sqrt{1-q^{2}}}.

Wir schließen nun eine in der Folge sehr wichtige Bemerkung über die Beziehung der Vektoren \mathfrak{w} und \mathfrak{w}' an. Es möge wieder die schon mehrfach gebrauchte Bezeichnung mit den Indizes 1, 2, 3, 4 herangezogen werden, sodaß wir x'_{1},\ x'_{2},\ x'_{3},\ x'_{4} für x,' y,' z,' it' und \varrho'_{1},\ \varrho'_{2},\ \varrho'_{3},\ \varrho'_{4} für \varrho'\mathfrak{w}'_{x'}\ \varrho'\mathfrak{w}'_{y'}\ \varrho'\mathfrak{w}'_{z'}\ i\varrho' setzen. Wie eine Drehung um die z-Achse, so ist offenbar auch die Transformation (4) und allgemeiner die Transformation (10), (11), (12) eine solche lineare Transformation von der Determinante +1, wodurch

(17) x^{2}_{1} + x^{2}_{2} + x^{2}_{3} + x^{2}_{4}, d. i. x^{2} + y^{2} + z^{2} - t^{2}

in

x^{'2}_{1} + x^{'2}_{2} + x^{'2}_{3} + x^{'2}_{4}, d. i. x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} - t'^{2}

übergeht.

Es wird daher auf Grund der Ausdrücke (13), (14) auch

-(\varrho_{1}^{2}+\varrho_{2}^{2}+\varrho_{3}^{2}+\varrho_{4}^{2})=\varrho^{2}(1-\mathfrak{w}_{x}^{2}-\mathfrak{w}_{y}^{2}-\mathfrak{w}_{z}^{2})=\varrho^{2}(1-\mathfrak{w}^{2})

in \varrho'(1-\mathfrak{w}'^{2}) übergehen, oder mit andern Worten

(18) \varrho\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}},

wobei die Quadratwurzel positiv genommen sei, eine Invariante bei Lorentz-Transformationen sein.

  1. Die runden Klammem sollen nur die Ausdrücke zusammenfassen, welche der Index betrifft, und [\mathfrak{w},\mathfrak{e}+i\mathfrak{m}] soll das vektorielle Produkt von \mathfrak{w} und +i\mathfrak{m} bedeuten.
Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 63. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/11&oldid=1152318 (Version vom 26.06.2010)