Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/31

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(37) die Identität Det^{\frac{1}{2}}(\mathsf{\overline{A}}f\mathsf{A})=Det\ \mathsf{A}\ Det^{\frac{1}{2}}f. Es wird danach Det^{\frac{1}{2}}f eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen (s. Gleich. (26) in § 5).

Für die duale Matrix f* folgt dann mit Rücksicht auf (36):

(\mathsf{A}^{-1}f^{*}\mathsf{A})(\mathsf{A}^{-1}f\mathsf{A})=\mathsf{A}^{-1}f^{*}f\mathsf{A}=Det^{\frac{1}{2}}f.\mathsf{A}^{-1}\mathsf{A}=Det^{\frac{1}{2}}f,

woraus zu ersehen ist, daß mit dem Raum-Zeit-Vektor II. Art f zusammen auch die zugehörige duale Matrix f* sich wie ein Raum-Zeit-Vektor II. Art abändert, und es heiße deshalb f* mit den Komponenten f_{14},\ f_{24},\ f_{34},\ f_{23},\ f_{31},\ f_{12} der duale Raum-Zeit-Vektor von f.

6°. Sind w und s zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art, so wird unter w\bar{s} (wie auch unter s\bar{w}) die Verbindung

(43) w_{1}s_{1} + w_{2}s_{2} + w_{3}s_{3} + w_{4}s_{4}

aus den bezüglichen Komponenten zu verstehen sein. Bei einer Lorentz-Transformation \mathsf{A} ist wegen (w\mathsf{A})(\mathsf{\bar{A}}\bar{s})=w\bar{s} diese Verbindung invariant. — Ist w\bar{s}=0, so sollen w und s normal zu einander heißen.

Zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art w, s geben ferner zur Bildung der 2 \times 4-reihigen Matrix

\left|\begin{array}{cccc}
w_{1}, & w_{2}, & w_{3}, & w_{4}\\
s_{1}, & s_{2}, & s_{3}, & s_{4}\end{array}\right|

Anlaß. Es zeigt sich dann sofort, daß das System der sechs Größen

(44) w_{2}s_{3} - w_{3}s_{2},\ w_{3}s_{1} - w_{1}s_{3},\ w_{1}s_{2} - w_{2}s_{1},\ w_{1}s_{4} - w_{4}s_{1},\ w_{2}s_{4} - w_{4}s_{2},\ w_{3}s_{4} - w_{4}s_{3}

sich bei den Lorentz-Transformationen als Raum-Zeit Vektor II. Art verhält. Der Vektor II. Art mit diesen Komponenten (44) werde mit [w,s] bezeichnet. Man erschließt leicht Det^{\frac{1}{2}}[w,s] =0. Der duale Vektor von [w,s] soll [w,s]* geschrieben werden.

Ist w ein Raum-Zeit-Vektor I. Art, f ein Raum-Zeit-Vektor II. Art, so bedeutet wf zunächst jedenfalls eine 1 \times 4-reihige Matrix. Bei einer Lorentz-Transformation \mathsf{A} geht w in w'=w\mathsf{A}, f in f'=\mathsf{A}^{-1}f\mathsf{A} über; dabei wird w'f'=w\mathsf{A}\ \mathsf{A}^{-1}f\mathsf{A}=(wf)\mathsf{A}, d. h. wf transformiert sich wieder als ein Raum-Zeit-Vektor I. Art.

Man verifiziert, wenn w ein Vektor I., f ein Vektor II. Art ist, leicht die wichtige Identität

(45) [w,wf]+[w,wf^{*}]^{*}=(w\bar{w})f.
Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 83. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/31&oldid=1152209 (Version vom 26.06.2010)