Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/32

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Die Summe der zwei Raum-Zeit-Vektoren II. Art links ist im Sinne der Summe zweier alternierenden Matrizen zu verstehen.

Nämlich für w_{1} = 0,\ w_{2} = 0,\ w_{3} =0,\ w_{4} = i wird

wf=\left|if_{41},\ if_{42},\ if_{43},\ 0\right|;\quad wf^{*}=\left|if_{32},\ if_{13},\ if_{21},\ 0\right|;

[w,wf]=0,\ 0,\ 0,\ f_{41},\ f_{42},\ f_{43};\quad [w,wf^{*}]=0,\ 0,\ 0,\ f_{32},\ f_{13},\ f_{21},

und die Bemerkung, daß in diesem speziellen Falle die Relation (45) zutrifft, genügt bereits, um derselben allgemein sicher zu sein, da diese Relation kovarianten Charakter für die Lorentz-Gruppe hat und zudem in w_{1},\ w_{2},\ w_{3},\ w_{4} homogen ist.


Nach diesen Vorbereitungen beschäftigen wir uns zunächst mit den Gleichungen (C), (D), (E), durch welche die Konstanten \varepsilon,\ \mu,\ \sigma eingeführt werden.

Statt des Raumvektors \mathfrak{w}, Geschwindigkeit der Materie, führen wir, wie schon in § 8, den Raum-Zeit-Vektor I. Art w mit den 4 Komponenten

w_{1}=\frac{\mathfrak{w}_{x}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{2}=\frac{\mathfrak{w}_{y}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{3}=\frac{\mathfrak{w}_{z}}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},\ w_{4}=\frac{i}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}}

ein; dabei gilt

(46) w\overline{w}=w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2}=-1

und -iw_{4} > 0.

Unter F und f wollen wir jetzt wieder die in den Grundgleichungen auftretenden Raum-Zeit Vektoren II. Art \mathfrak{M},\ -i\mathfrak{E} und \mathfrak{m},\ -i\mathfrak{e} verstehen.

In \Phi = -wF haben wir wieder einen Raum-Zeit-Vektor I. Art; seine Komponenten werden sein

\begin{array}{ccccccccr}
\Phi_{1} & = &  &  & w_{2}F_{12} & + & w_{3}F_{13} & + & w_{4}F_{14},\\
\Phi_{2} & = & w_{1}F_{21} &  &  & + & w_{3}F_{23} & + & w_{4}F_{24},\\
\Phi_{3} & = & w_{1}F_{31} & + & w_{2}F_{32} &  &  & + & w_{4}F_{34},\\
\Phi_{4} & = & w_{1}F_{41} & + & w_{2}F_{42} & + & w_{3}F_{43} & &.\end{array}

Die drei ersten Größen \Phi_{1},\ \Phi_{2},\ \Phi_{3} sind bez. die x-,\ y-,\ z-Komponente des Raumvektors

(47) \frac{\mathfrak{E}+[\mathfrak{wM}]}{\sqrt{1-\mathfrak{w}^{2}}},
Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 84. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/32&oldid=2237024 (Version vom 7.09.2014)