Seite:Grundgleichungen (Minkowski).djvu/7

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in Bezug auf die Permutationen der Indizes 1, 2, 3, 4.

§ 3. Das Theorem der Relativität von Lorentz.

Die Schreibweise der Gleichungen (I) — (IV) in der Symbolik des Vektorkalküls dient bekanntermaßen dazu, eine Invarianz (oder besser Kovarianz) des Gleichungssystems (A) wie des Gleichungssystems (B) bei einer Drehung des Koordinatensystems um den Nullpunkt in Evidenz zu setzen. Nehmen wir z. B. eine Drehung um die z-Axe um einen festen Winkel \varphi vor unter Festhaltung der Vektoren \mathfrak{e,\ m,\ w} im Raume, führen also anstatt x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4} Variabeln x'_{1},\ x'_{2},\ x'_{3},\ x'_{4} ein durch

x'_{1}=x_{1}\cos\varphi+x_{2}\sin\varphi,\ x'_{2}=-x_{1}\sin\varphi+x_{2}\cos\varphi,\ x'_{3}=x_{3},\ x'_{4}=x_{4},

dazu neue Größen \varrho'_{1},\ \varrho'_{2},\ \varrho'_{3},\ \varrho'_{4} durch

\varrho'_{1}=\varrho_{1}\cos\varphi+\varrho_{2}\sin\varphi,\ \varrho'_{2}=-\varrho_{1}\sin\varphi+\varrho_{2}\cos\varphi,\ \varrho'_{3}=\varrho_{3},\ \varrho'_{4}=\varrho_{4}

neue Größen f'_{12},\dots f'_{34} durch

f'_{23}=f_{23}\cos\varphi+f_{31}\sin\varphi,\ f'_{31}=-f_{23}\sin\varphi+f_{31}\cos\varphi,\ f'_{12}=f_{12},

f'_{14}=f_{14}\cos\varphi+f_{24}\sin\varphi,\ f'_{24}=-f_{14}\sin\varphi+f_{24}\cos\varphi,\ f'_{34}=f_{34},

f'_{kh} = -f'_{hk}\qquad (h,\ k = 1,\ 2,\ 3,\ 4),

so wird notwendig aus (A) das genau entsprechende System (A’), aus (B) das genau entsprechende System (B’) zwischen den neuen, mit Strichen versehenen Größen folgen.

Nun läßt sich auf Grund der Symmetrie des Systems (A) wie des Systems (B) in den Indizes 1, 2, 3, 4 sofort ohne jede Rechnung das von Lorentz gefundene Theorem der Relativität entnehmen.

Ich will unter i\psi eine rein imaginäre Größe verstehen und die Substitution

(1) x'_{1}=x_{1},\quad x'_{2}=x_{2},

x'_{3}=x_{3}\cos\ i\psi+x_{4}\sin\ i\psi,\quad x'_{4}=-x_{3}\sin\ i\psi+x_{4}\cos\ i\psi

betrachten. Mittelst

(2) -i\ \mathrm{tg}\ i\psi=\frac{e-e^{-\psi}}{e^{\psi}+e^{-\psi}}=q,\quad \psi=\frac{1}{2}\log\ \mathrm{nat}\ \frac{1+q}{1-q}
Empfohlene Zitierweise:

Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 59. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/7&oldid=2229456 (Version vom 18.08.2014)