Seite:Hans Euler Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie 1936.pdf/40

	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

ohne Spezialisierung bei Durchrechnung des Diracschen Matrixelements für 4 beliebige Lichtquanten das Resultat (9,1) erhalten hätten, soll jetzt durch einige numerische Rechnungen kontrolliert werden.

Wir berechnen in der Entwicklung des Diracschen Matrixelements nach Lichtfrequenzen:

1. die 1. Näherung allgemein,
2. die 2. Näherung unter einer einschränkenden Voraussetzung über die Polarisationen,
3. die 3. Näherung für die zwei oben behandelten Spezialfalle a) und b) und bestimmen
4. die Konstante $\alpha$ noch einmal auf einem vom obigen ganz unabhängigen Wege.

Wenn 1., 2. und 3. das Resultat 0, und 4. wieder das Resultat $\alpha =-{\tfrac {1}{360\pi ^{2}}}$ ergeben, können wir darin für unser Verfahren eine direkte Bestätigung sehen.

1. Das Glied 1. Ordnung des Diracschen Matrixelements in der Entwicklung nach $g^{i}/mc$ muß immer verschwinden: denn es ist linear in den Impulsen und Energien der Lichtquanten als Glied 1. Ordnung, symmetrisch in den 4 Lichtquanten wegen der Summation über die Lichtquantenpermutationen, also 0 infolge des Erhaltungssatzes $\sum \limits _{\textrm {Perm}}g^{1}=0$, $\sum \limits _{\textrm {Perm}}{\mathfrak {g}}^{1}=0$ für Energie und Impuls.

2. Das Glied 2. Ordnung in $g^{i}/mc$ des Diracschen Matrixelements soll in dem speziellen Fall ausgerechnet werden, in dem alle 4 Lichtquanten parallele Polarisationen, aber beliebige komplanare Impulse ${\mathfrak {g}}^{1},{\mathfrak {g}}^{2},{\mathfrak {g}}^{3},{\mathfrak {g}}^{4}$ haben.

In diesem Fall erhält man durch Entwicklung des Zählers $Z_{\mu }$ (5,15), welcher die Produkte der 4 gewöhnlichen Matrixelemente der Teilprozesse enthält, bis zur 2. Ordnung in $g^{i}/cm$: (Statt für 6 Übergangsfälle $\mu =1\dots 6$ von denen nur 4 verschieden sind, 4 Gleichungen einzeln aufzuschreiben, sind sie durch Spalten ${\begin{array}{|c|}Z_{1}\\Z_{2}=Z_{3}\\Z_{4}\\Z_{5}=Z_{6}\end{array}}$ von je 4 Zahlen in einer Gleichung zusammengefaßt):

(9,2)

$\left\{{\begin{aligned}{\begin{array}{|c|}Z_{1}\\Z_{2}=Z_{3}\\Z_{4}\\Z_{5}=Z_{6}\end{array}}=&-8{\begin{array}{|c|}0\\0\\0\\1\end{array}}+8{\frac {p_{y}^{2}}{p_{0}^{2}}}{\begin{array}{|c|}1\\1\\1\\1\end{array}}-80{\frac {p_{y}^{4}}{p_{0}^{4}}}{\begin{array}{|c|}1\\1\\1\\1\end{array}}\\&-4{\frac {p_{y}^{2}}{p_{0}^{4}}}\left[\left({\mathfrak {pg}}^{1}\right){\begin{array}{|c|}3\\2\\1\\4\end{array}}+\left({\mathfrak {pg}}^{2}\right){\begin{array}{|c|}2\\1\\1\\2\end{array}}+\left({\mathfrak {pg}}^{4}\right){\begin{array}{|c|}-1\\-1\\-2\\-2\end{array}}\right]\\&+{\frac {8p_{y}^{4}}{p_{0}^{4}}}\left({\mathfrak {p}},2{\mathfrak {g}}^{1}+{\mathfrak {g}}^{2}-{\mathfrak {g}}^{4}\right){\begin{array}{|c|}1\\1\\1\\1\end{array}}\\&-{\frac {\left({\mathfrak {g}}^{1}{\mathfrak {g}}^{1}\right)}{6p_{0}^{2}}}\left[4{\begin{array}{|r|}-1\\-1\\-1\\6\end{array}}+8{\frac {p_{y}^{2}}{p_{0}^{2}}}{\begin{array}{|r|}10\\8\\8\\13\end{array}}+80{\frac {p_{y}^{4}}{p_{0}^{4}}}{\begin{array}{|r|}-1\\-1\\-1\\-1\end{array}}\right]\\&-{\frac {\left({\mathfrak {pg}}^{1}\right)^{2}}{6p_{0}^{4}}}\left[4{\begin{array}{|r|}1\\-1\\1\\6\end{array}}+8{\frac {p_{y}^{2}}{p_{0}^{2}}}{\begin{array}{|r|}-28\\-20\\-20\\-37\end{array}}+320{\begin{array}{|c|}1\\1\\1\\1\end{array}}\right].\end{aligned}}\right.$

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 437. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/40&oldid=- (Version vom 1.8.2018)