Über die Konstitution des Elektrons (1906)/Anhang

Anhang I.
Messungs- und Beobachtungsprotokolle.

I. Apparatdimensionen. Folgendes sind die gefundenen Einstellungen: (Alle Zahlen bedeuten Zentimeter):

$A_{1}=$ 8,5306 $A_{2}=$ 8,5307 $A_{3}=$ 8,5318	$B_{1}=$ 6,5612 $B_{2}=$ 6,5615 $B_{3}=$ 6,5622	$C_{1}=$ 4,2953 $C_{2}=$ 4,2957 $C_{3}=$ 4,2967	$C_{4}=$ 4,2964 $C_{5}=$ 4,2961
$D_{1}=$ 6,0275 $D_{2}=$ 6,0227 $D_{3}=$ 6,0292	$D_{4}=$ 6,0232 $D_{5}=$ 6,0251 $D_{6}=$ 6,0259

Dicke der planparallelen Glasplatte: 4 Einstellungen ergaben in genauer Übereinstimmung

$4{,}2691-4{,}0081=0{,}2610.$

Aus obigen Zahlen berechnet sich zunächst:

$\left.{\begin{aligned}C_{0}&=(C_{2}+C_{5})/2=4{,}2959\\&=(C_{1}+C_{4})/2=4{,}29585\end{aligned}}\right\}$ im Mittel: $C_{0}=4{,}2959.$

Ferner

$C_{6}=C_{0}-(C_{3}-C_{0})=4{,}2951.$

Aus diesen Zahlen berechnet sich:

$\left.{\begin{alignedat}{2}A-C&=A_{1}-(C_{1}+C_{5})/2&&=4{,}2349\\&=A_{2}-(C_{2}+C_{6})/2&&=4{,}2353\\&=A_{3}-(C_{3}+C_{6})/2&&=4{,}2352\end{alignedat}}\right\}$ im Mittel: $A-C=4{,}2351.$

$\left.{\begin{alignedat}{2}B-C&=B_{1}-(C_{1}+C_{6})/2&&=2{,}2660\\&=B_{2}-(C_{2}+C_{4})/2&&=2{,}2655\\&=B_{3}-(C_{3}+C_{5})/2&&=2{,}2658\end{alignedat}}\right\}$ im Mittel: $B-C=2{,}2658.$

Somit

${\begin{alignedat}{2}{\boldsymbol {A'-B'=A-B}}&=(A-C)-(B-C)&&={\boldsymbol {1{,}9693}}\\{\boldsymbol {B'-C}}&=(B-C)-d&&={\boldsymbol {2{,}0048.}}\end{alignedat}}$

Die Orientierung des Kondensators ist durch folgende Zahlen bestimmt:

Platte P2:	${\begin{cases}D_{1}-(C_{1}+C_{5})/2=1{,}7318\\D_{5}-(C_{3}+C_{6})/2=1{,}7292\\D_{2}-(C_{2}+C_{4})/2=1{,}7266\end{cases}}$	Differenz: 0,0026 Differenz: 0,0026
Platte P1:	${\begin{cases}D_{3}-(C_{1}+C_{5})/2=1{,}7335\\D_{6}-(C_{3}+C_{6})/2=1{,}7300\\D_{4}-(C_{2}+C_{4})/2=1{,}7271\end{cases}}$	Differenz: 0,0035 Differenz: 0,0029

Man sieht aus den angegeben Differenzen, daß die Oberkanten der Platten nicht ganz genau parallel C sind, sondern eine kleine Neigung haben. Ferner ist die Kante von P₁, wie aus der Ungleichheit der Differenzen hervorgeht, ein wenig konkav. Endlich weisen die Mitten beider Kanten eine Höhendifferenz von nicht ganz 1/1000 cm auf; das ist aber, da die Platten selbst (vgl. w. u.) eine Höhe von etwa 1,5 cm haben, ein Fehler von bloß 2/3 Promille bez. des „elektrischen Feldintegrales“ (vgl. w. u. p. 544 u. ff.).

Für die Feldberechnung kommt nur die Lage der Kantenmitte in Betracht, also:

${\boldsymbol {D-C}}=(1{,}7292+1{,}7300)/2={\boldsymbol {1{,}7296.}}$

Die Höhe der Platten längs der Mittellinie wurde bei Platte P₁ direkt gemessen; bei P₂ mußte wegen des Befestigungswinkels in gleichen Abständen links und rechts von der Mitte gemessen und das Mittel genommen werden. Es ergab sich:

Für	P1:	$h_{1}=1{,}4835$
„	P2:	$h_{2}=(1{,}4845+1{,}4836)/2=1{,}4840.$
Also im Mittel: ${\boldsymbol {h}}=(h_{1}+h_{2})/2={\boldsymbol {1{,}4838.}}$

Abstand der Kondensatorplatten.

Wegen des Einflusses der Kollimationsfehler wurde Kundtsche Kollimationsmethode angewandt; abwechselnd von unten und von oben her fokussiert. Beispiel einer einzelnen Messungereihe:

(Die Zahlen unter S sind die Ablesungen am Schlittenmikroskop in Zentimetern, die Zahlen unter O die an der Mikrometertrommel des Objektmikroskopes abgelesenen 1/1000 mm. Die römischen Ziffern bezeichnen die Ablesung an der Platte P₁ bez. P₂.)

Messungsreihe Nr. 28.

I. $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }$				II. $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }$
S		O		S		O
0,68398		29,0		0,56238		56,0
96		29,2		38		55,5
89		30,0		34		55,6
90		29,0		42		55,4
94		29,0		42		54,8
0,68393		29,2		0,56239		55,5
292				555
0,68101				0,55684
0,55684
$d$ = 0,12517	= Abstand der Platten (± 0,2 µ)

In gleicher Weise im ganzen 23 Messungen:

Nr.	$d$	Nr.	$d$	Nr.	$d$
7	0,12375	15	0,12506	24	0,12431
8	450	16	482	25	445
9	414	17	466	26	447
10	393	18	435	27	392
11	399	19	444	28	517
12	399	20	482	29	299
13	432	21	436	30	355
14	485	22	490
Im Mittel: ${\boldsymbol {d}}$ = 0,12434 cm ± 0,00011.

II. Relative Magnetfeldmessung. Messungen bezogen auf Höhe $h$, an der Skala des Meßapparates (Fig. 6) abgelesen. Probespule befindet sich in Höhe der Oberfläche des Ringes S am Vakuumgefäß (Fig. 2) bez. der Unterfläche des Ringes R′ am Aufnahmeapparat, wenn $h$ = 3,20 cm. Von dort bis zur Bodenfläche C des Aufnahmeapparates beträgt die Entfernung 2,11 cm; somit ist die von C aus gerechnete Höhe

$x=2{,}11+h-3{,}20=h-1{,}09$.

Für die Umrechnung ist es bequemer, den Nullpunkt 0,09 cm unter C zu wählen, so daß ${\boldsymbol {x=h-1}}$.

Beispiel einer Einzelmessung:

${\boldsymbol {h=3{,}0\qquad x=2{,}0}}$.

Ausschlag:	479,0	478,5	478,5	483	484,5	484
Nullpunkt:	12,5	12,5	12,5	18	18	18
Differenz:	466,5	466	466	465	466,5	466
Im Mittel: 466,0.

In ähnlicher Weise sind alle übrigen Punkte gemessen. Die ganze Skala wurde hin und zurück durchmessen, um etwaige zeitliche Änderungen der Galvanometerempfindlichkeit zu eliminieren. Die letzten drei Messungen sind auf dem Rückwege gemacht; es hat sich nur der Nullpunkt allmählich etwas verschoben, die Empfindlichkeit ist dieselbe geblieben. Die Entfernung der Skala vom Spiegel betrug etwa 3 m, Reduktion auf unendlich kleine Ablenkungen war wegen der geringen Veränderlichkeit der Ausschläge unnötig.

IV. Absolute Magnetfeldmessung. Die Notwendigkeit, den ganzen Apparat auf der in Abt. I erwähnten Marmorplatte zu montieren (eine andere Möglichkeit zu genügend erschütterungsfreier Aufstellung war wegen der mangelhaftigen baulichen Verhältnisse des Instituts nicht vorhanden), zwang zur Wahl einer Skalenentfernung von bloß 855 mm. Deshalb die viel kleineren Ausschläge. Außerdem war Schiefstellung der Skala nötig, so daß sorgfältige Reduktion auf unendlich kleine Ausschläge ausgeführt werden mußte.

Ich teile die Einzelmessungen im Feld der Stromspule mit:

Tabelle.

Reduz. Ausschl. $N$	Ampèremeter- ablesung $A$		Mittlerer Strom in Ampère $J=0{,}257\cdot A$	$N/J$
	vor	nach
	Kommutieren
−91,9	128,5	128,5	33,02	−2,781
+90,9	128,0	127,2	32,80	+2,768
−90,5	126,3	126,3	32,47	−2,784
+90,6	127,0	126,0	32,52	+2,786
−91,1	126,0	126,0	32,37	−2,816
+89,7	125,5	125,0	32,17	+2,786
Im Mittel: $N/J$ = 2,787 ± 6,4 = 2,787 $\cdot$ (1 ± 2,3/1000).

V. Versuchsprotokolle.

Platte 10.

Batteriespannung	zu Beginn	. . . .	327,02	Volt
„	am Schluß	. . . .	326,85	„
Mittel:			326,93	Volt

Zeit						Isolation (verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
13. VI. 05	11	h	20	m	Vorm.	75	Zu pumpen begonnen
	11		35		„	–	Elektr. Feld angelegt
	12		50		Nachm.	–	Pumpe abgestellt
14. VI. 05	8		50		Vorm.	60
	10		15		„	60	Elektr. Feld umgekehrt
15. VI. 05	9		0		„	20	Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: $V=4\cdot 2\cdot 326{,}93=2615$ Volt. Kurve etwas schwach, aber klar. Schichtriß durch Ende eines Kurvenastes.

Platte 11.

Batteriespannung	zu Beginn	. . . .	326,85	Volt
„	am Schluß	. . . .	326,77	„
Mittel:			326,81	Volt

Zeit						Isolation (verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
15. VI. 05	10	h	15	m	Vorm.		Zu pumpen begonnen
	11		0		„	110	Elektr. Feld angelegt
	12		30		Nachm.	–	Pumpe abgestellt
	2		45		„	10	Seit 2h Gewitter
	4		15		„	17	Gewitter hat bis 3h30m gedauert, Wetter klar, aber schwül
16. VI. 05	9		20		Vorm.	5	Gepumpt von 9h20m bis 9h35m
	11		30		„	20
	12		0			–	Elektr. Feld umgekehrt
	4		45		Nachm.	20	Schwül, nahendes Gewitter
	6		0		„	35	Gewitter
17. VI. 05	9		30		Vorm.	5	Klar, aber noch schwül
	12		0			>250	Sehr warm. Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: $V=4\cdot 2\cdot 326{,}81=2614{,}5$ Volt. Kurve kräftig, aber starker Schleier.

Platte 12.

Batteriespannung	zu Beginn	. . . .	326,77	Volt
„	am Schluß	. . . .	326,75	„
Mittel:			326,76	Volt

Zeit						Isolation (verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
17. VI. 05	5	h	17	m	Nachm.	–	Zu pumpen begonnen
	5		55		„	50	Elektr. Feld angelegt
	6		15			–	Pumpe abgestellt
18. VI. 05	12		40		„	10	Elektr. Feld umgekehrt. Schwül, Gewitterschauern seit 17. VI. abends. Seit 18. VI. 1h Nachm. zunehmende Aufklärung
19. VI. 05	9		45		Vorm.	150	Elektr. Feld wieder umgekehrt, warmes trocknes Wetter
	12		5		Nachm.	>250	Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: $V=4\cdot 2\cdot 326{,}76=2614{,}1$ Volt. Kurve wie bei Platte 11.

Platte 13.

Batteriespannung	zu Beginn	. . . .	326,75	Volt
„	am Schluß	. . . .	326,65	„
Mittel:			326,70	Volt

Zeit						Isolation (verliert 500 Volt in Sek.)	Bemerkungen
19. VI. 05	4	h	20	m	Nachm.	–	Zu pumpen begonnen
	4		55		„	60	Elektr. Feld angelegt, Wetter kühl, trocken
	6		15		„	–	Pumpe abgestellt
20. VI. 05	9		10		Vorm.	12
	10		30		„	20
	11		25		„	45
	12		0			–	Elektr. Feld umgekehrt
21. VI. 05	8		10		„	8
	9		25		„	–	Elektr. Feld nochmals umgekehrt
	11		30		„	–	Schluß

Unkorrigierte Apparatspannung: $V=5\cdot 2\cdot 326{,}70=3267$ Volt. bei Kurve wie Platte 11 und 12.

Platte 15.

In der Mitte geerdete Batterie direkt angelegt, also keine Isolationsverluste.

Batteriespannung	zu Beginn	. . . .	326,35	Volt
„	am Schluß	. . . .	326,25	„
Mittel:			326,30	Volt

Zeit						Bemerkungen
25. VI. 05	10	h	50	m	Vorm.	Zu pumpen begonnen
	11		10		„	Elektr. Feld angelegt
	11		45		„	Pumpe abgestellt
26. VI. 05	11		15		„	Elektr. Feld umgekehrt
27. VI. 05	10		15		„	Schluß

Apparatspannung: $V=5\cdot 326{,}30=1631{,}5$ Volt. Platte etwas mehr verschleiert als die anderen.

VI. Kurvenmessungen. Als Beispiel sei das Messungsprotokoll der Platte 12 mitgeteilt. Zahlenangaben in Millimetern. Messung von $z$ folgendermaßen: Zuerst Einstellung mittels $z$-Schraube auf unabgelenkten Fleck und zwar fünfmal ($a$). Dann Seitenverschiebung mittels $y$-Verschiebung, bis Marke zwischen zwei Striche der $z$-Skala fällt. Nächst niederer Strich der Skala sei $z_{1}$. Dann Einstellung mit $z$-Schraube auf $z_{1}$, Ablesung $b$ fünfmal; dann ebenso Einstellung auf $z_{1}-1$, Ablesung $c$ fünfmal.

$z_{1}=0{,}1.$

	$a$		$b$		$c$
	59,2		63,2		53,7
	58,4		62,5		53,8
	59,1		63,3		54,1
	58,5		63,6		53,9
	58,7		62,7		54,2
Mittel:	58,8		63,1		53,9

Es ist:

$z_{0}=z_{1}+0{,}1\cdot (b-a)/(b-c)={\boldsymbol {0{,}147.}}$

Dann Messung von $y_{1}$ und $y_{2}$ für willkürlich gewählte $z$. Es ist

$z_{b}=z-z_{0};\quad y_{b}=(y_{1}-y_{2})/2.$

$z=1{,}500$

$y_{1}$	$y_{2}$
15,332	14,790
43	90
30	89
37	85
15	91
27	84
28	88
31	91
36	803
40	780
15,332	14,789

$z=2{,}000$

$y_{1}$	$y_{2}$
15,465	14,676
68	81
62	85
72	69
71	75
72	77
68	84
70	69
67	90
66	88
14,468	14,679

$z=2{,}500$

$y_{1}$	$y_{2}$
15,579	14,540
608	23
583	46
593	30
578	37
610	31
597	35
597	37
588	38
601	32
15,593	14,535

$z=3{,}000$

$y_{1}$	$y_{2}$
15,738	14,372
43	64
38	73
49	68
37	69
51	76
59	73
65	81
50	81
53	74
15,748	14,373

$z=3{,}500$

$y_{1}$	$y_{2}$
15,901	14,194
17	94
21	95
27	95
14	93
24	83
04	93
19	88
21	91
17	80
15,917	14,191

$z=4{,}000$

$y_{1}$	$y_{2}$
16,096	14,010
103	13,996
090	14,022
104	13,990
101	14,011
114	13,984
102	14,005
123	14,000
105	14,008
122	14,003
16,106	14,003

$z=4{,}500$

$y_{1}$	$y_{2}$
16,316	13,791
20	781
07	799
18	778
18	805
21	787
28	803
33	784
23	811
25	811
16,321	13,795

$z=5{,}000$

$y_{1}$	$y_{2}$
	13,564
	70
	65
	61
	71
	64
	52
	77
	67
	65
	13,566

Bei dem letzten Punkt ist $y_{1}$ nicht mehr meßbar. $y_{b}$ ist berechnet als Differenz zwischen $y_{2}$ und dem Mittelwert von $y_{0}=(y_{1}+y_{2})/2$ für sämtliche Punkte.

Anhang II.
Berechnung der Feldintegrale.

I. Magnetisches Feldintegral. Für $H$ war die empirische Gleichung gefunden (p. 513)

(1)	$H=141{,}7+4{,}1x-2{,}0x^{2}+0{,}2x^{3}$.

Daraus folgt unter Vernachlässigung der mit kleinen Zahlen multiplizierten Quadrate von $x_{0}$:

(2)	$\ \int \limits _{x_{0}}^{x}Hdx=141{,}7\cdot (x-x_{0})+2{,}05x^{2}-0{,}667x^{3}+0{,}05x^{4}$,

(3)	$\left\{{\begin{aligned}\int \limits _{x_{0}}^{x_{1}}dx\int \limits _{x_{0}}^{x}Hdx=70{,}85(x_{1}-x_{0})^{2}&+0{,}683x_{1}^{3}-0{,}167x_{1}^{4}\\&+0{,}01x_{1}^{5}=J_{1},\end{aligned}}\right.$

(4)	$\left\{{\begin{aligned}\int \limits _{x_{0}}^{x_{2}}dx\int \limits _{x_{0}}^{x}Hdx-70{,}85(x_{2}-x_{0})^{2}&+0{,}683x_{2}^{3}-0{,}167x_{2}^{2}\\&+0{,}01x_{2}^{5}=J_{2}.\end{aligned}}\right.$

Hierbei ist $x=0$ für einen 0,09 cm unter der Fläche C liegenden Punkt (vgl. p. 539).

Somit:

${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=2{,}005+0{,}09&&=2{,}095,\\x_{2}&=2{,}005+1{,}969+0{,}09&&=4{,}064,\\x_{0}&=0{,}09+0{,}011&&=0{,}101\end{alignedat}}$

(0,011 = Höhe der Strahlungsquelle vgl. p. 507). Daraus:

$J_{1}=285{,}2\,,\qquad J_{2}=1123{,}8$

und

${\boldsymbol {M}}=J_{2}-{\frac {x_{2}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\cdot J_{1}={\boldsymbol {557{,}1.}}$

Berechnung des von ungenauer Orientierung im Felde herrührenden Fehlers.

Die Lagebeziehung der verschiebbaren Probespule zum Aufnahmeapparat ist nur auf etwa 0,5 mm genau bekannt. In den beiden Integralen ist das Hauptglied $(x_{1}-x_{0})^{2}$ von dieser Unsicherheit unabhängig. Eine Veränderung der Grenzen $x_{1}$ und $x_{2}$ um $\delta x$ bewirkt also eine Veränderung:

$\delta J_{1}=\delta x\{3\cdot 0{,}683x_{1}^{2}-4\cdot 0{,}167x_{1}^{3}+5\cdot 0{,}01x_{1}^{4}\}=-1{,}8\delta x$

und ähnlich:

$\delta J_{2}\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =+3{,}4\delta x.$

Somit:

${\frac {\delta M}{\delta x}}=3{,}4+2\cdot 18=7.$

Einer Verschiebung um 0,5 mm entspricht also eine Änderung

$\delta M=0{,}35=0{,}6\,{\text{‰}}.$

II. Elektrisches Feldintegral. Wir legen der Bequemlichkeit halber den Koordinatenanfang in die Strahlungsquelle, indem wir von allen von C aus gemessenen $x$ den Betrag 0,011 cm abziehen.

Dann lautet das elektrische Feldintegral:

(1)	$E=(x_{2}-x_{1})\left\{\int \limits _{0}^{x_{1}}Fdx-{\frac {1}{x_{1}}}\int \limits _{0}^{x_{1}}dx\int \limits _{0}^{x}Fdx\right\}$.

Dabei ist dann:

${\begin{aligned}x_{2}-x_{1}&=1{,}969,\\x_{1}&=1{,}994.\end{aligned}}$

Etwa 1 mm innerhalb des Plattenrandes ist das Feld praktisch konstant. Wir zerlegen deshalb die Strecke $x_{1}$ in drei Teile:

$a$	vom	Nullpunkt bis 1 mm hinter dem unteren Plattenrand,
$c$	„	Endpunkte	von	$a$	bis	1 mm vor dem oberen Plattenrand,
$b$	„	„	„	$c$	„	zum Diaphragma.

Es ist also:

${\begin{alignedat}{2}a&=0{,}246+0{,}1-0{,}011&&=0{,}335\\c&=1{,}484-0{,}2&&=1{,}284\\b&=0{,}275+0{,}1&&={\underline {0{,}375}}\\a+c+b&&&=1{,}994=x_{1}\end{alignedat}}$

Es ist:

(2)	$\left\{{\begin{alignedat}{3}\int \limits _{0}^{x}Fdx&=\int \limits _{0}^{x}Fdx&&{\text{fuer}}&0<\,&x<a,\\&=\int \limits _{0}^{a}Fdx+(x-a)&&\ {\text{,,}}&a<\,&x<a+c,\\&=\int \limits _{0}^{a}Fdx+c+\int \limits _{a+c}^{x}Fdx&\quad &\ {\text{,,}}&a+c<\,&x<x_{1}.\end{alignedat}}\right.$

Somit:

(3)	$\int \limits _{0}^{x_{1}}Fdx=\int \limits _{0}^{a}Fdx+\int \limits _{a+c}^{x_{1}}Fdx+c.$

Es ist ferner in leicht verständlicher Abkürzung:

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{x_{1}}\int \limits _{0}^{x}&=\int \limits _{0}^{a}\int \limits _{0}^{x}+\int \limits _{a}^{a+c}\int \limits _{0}^{x}+\int \limits _{a+c}^{x_{1}}\int \limits _{0}^{x}\\&=\int \limits _{0}^{a}\int \limits _{0}^{x}+c\int \limits _{0}^{a}+{\frac {(a+c)^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{2}}-ac+b\int \limits _{0}^{a}+bc+\int \limits _{a+c}^{x_{1}}\int \limits _{a+c}^{x}.\end{aligned}}\right.$

Führt man in dem letzten Doppelintegral die neue Variable

$\xi =x_{1}+x$,

d. h. den Abstand vom Diaphragma ein, so wird

${\begin{aligned}\quad \int \limits _{a+c}^{x_{1}}dx\int \limits _{a+c}^{x}Fdx=\int \limits _{b}^{0}d\xi \int \limits _{b}^{\xi }Fd\xi &=\int \limits _{b}^{0}\int \limits _{b}^{0}+\int \limits _{b}^{0}\int \limits _{0}^{\xi }\\&=b\cdot \int \limits _{0}^{b}Fd\xi -\int \limits _{0}^{b}d\xi \int \limits _{0}^{\xi }Fd\xi .\end{aligned}}$

Somit:

(5)	$\left\{{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{x_{1}}dx\int \limits _{0}^{x}Fdx=\int \limits _{0}^{a}dx\int \limits _{0}^{x}Fdx&-\int \limits _{0}^{b}d\xi \int \limits _{0}^{\xi }Fd\xi +(b+c)\int \limits _{0}^{a}Fdx\\&+b\int \limits _{0}^{b}Fd\xi +{\frac {c^{2}}{2}}+bc,\end{aligned}}\right.$

und nach (3):

(6)	$\int \limits _{0}^{x_{1}}Fdx=\int \limits _{0}^{a}Fdx+\int \limits _{0}^{b}Fd\xi +c.$

Setzt man (5) und (6) in (1) ein, so erhält man (für $F=1$ im konstanten Bereich):

(7)

$\left\{{\begin{aligned}E_{1}=(x_{2}-x_{1})\left\{{\frac {c}{2}}+\int \limits _{0}^{b}Fd\xi -{\frac {1}{x_{1}}}\left[{\frac {c}{2}}(b-a)+b\int \limits _{0}^{b}Fd\xi \right.\right.\\\left.\left.-a\int \limits _{0}^{a}Fdx-\int \limits _{0}^{b}d\xi \int \limits _{0}^{\xi }Fd\xi +\int \limits _{0}^{a}dx\int \limits _{0}^{x}Fdx\right]\right\}.\end{aligned}}\right.$

In diesem Ausdruck stellen die ersten beiden Glieder in der geschweiften Klammer denjenigen Wert von $E_{1}/(x_{2}-x_{1})$ dar, der bei völlig symmetrischer Stellung der Kondensatorplatten zwischen Boden und Diaphragma und völligem Zusammenfallen der Strahlenquelle mit dem Boden eintreten würde; der mit $1/x_{1}$ multiplizierte Ausdruck, der bei völlig symmetrischer Anordnung verschwindet, stellt die von der Unsymmetrie herrührende Korrektion dar.

Die Integrale wurden graphisch ausgewertet. Es beträgt der Wert der ersten beiden Glieder („Hauptglieder“):

${\frac {c}{2}}+\int \limits _{0}^{b}Fd\xi =0{,}642+0{,}167=0{,}809$.

Dagegen betragen die Korrektionsglieder zusammen nur: 0,0141.

Somit wird das Feldintegral für ein Feld $F=1$ im homogenen Teil:

$E_{1}=1{,}969(0{,}809-0{,}0141)={\boldsymbol {1{,}565}}$,

das Korrektionsglied beträgt also bloß 1,7 Proz.; selbst wenn man nun die beiderseitigen Integrale und Doppelintegrale als gleich ansehen und nur den Abstand des Radiumschwerpunktes vom Boden berücksichtigen würde, so würde das Korrektionsglied lauten:

${\frac {b-a}{x_{1}}}\left[{\frac {c}{2}}+\int \limits _{0}^{b}Fd\xi \right]=0{,}809\cdot {\tfrac {0{,}04}{1{,}994}}=2\ {\text{Proz.}}$

Da also ein Gleichsetzen des Feldverlaufs an beiden Enden das Integral nur um $(2-1{,}7)\ {\text{Proz.}}=0{,}3\ {\text{Proz.}}$ verändert, so kann selbst ein Fehler bei der nur schätzungsweise ausgeführten Bestimmung des Feldverlaufes zwischen $o$ und $a$ im Betrage von 30 Proz. das Resultat höchstens um 1 Promille beeinflussen.

Für eine Potentialdifferenz von 2500 Volt $=25\cdot 10^{10}$ elektromagnetische Einh. und einen Plattenabstand von 0,1242 cm wird also:

(8)	${\boldsymbol {E}}={\tfrac {1{,}565\cdot 25}{0{,}1242}}\cdot 10^{10}={\boldsymbol {315\cdot 10^{10}}}$.

Von der Genauigkeit der Feldverlaufsmessung ist nur das zweite Hauptglied $\textstyle \int \limits _{0}^{b}Fd\xi =0{,}167$ abhängig; dieses beträgt $100\cdot 0{,}167/0{,}809=21\ {\text{Proz.}}$ des Ganzen.

Es würde also selbst ein Fehler von 1 Proz. bei den relativen Feldmessungen erst 2 Promille Fehler im Integral hervorrufen. Man kann somit den vom Feldverlauf herrührenden Fehler in $E$ zu 2 Promille ansetzen. Dazu kommt der etwaige Fehler der Potentialbestimmung mit 1 Promille und der Fehler des Plattenabstandes mit 2 Promille. Der maximal mögliche Fehler von $E$ beträgt also 5 Promille.

Anhang III.
Bestimmung von $\varepsilon /\mu _{0}$ aus Kathodenstrahlen.

In meinen bisherigen Arbeiten, auch in der eingangs zitierten letzten Publikation in den Berliner Berichten habe ich für $\varepsilon /\mu _{0}$ den Wert $1{,}885\cdot 10^{7}$ als extrapoliert aus der Simonschen Zahl $1{,}865\cdot 10^{7}$ angegeben. Das angewandte Extrapolationsverfahren war jedoch nicht ganz korrekt, da ich bei der Rechnung den Unterschied zwischen transversaler und longitudinaler Masse nicht genügend berücksichtigt hatte. Der extrapolierte Wert wird ferner etwas verschieden, je nach der zugrunde gelegten Theorie.

I. Berechnung nach Abraham.^[1] Die Gesamtenergie des Elektrons ist, wenn $a$ sein Radius, $\varepsilon$ die Ladung in elektromagnetischem Maße

$W={\frac {\varepsilon ^{2}c^{2}}{2a}}\left\{{\frac {1}{\beta }}\operatorname {lg} {\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right\}$

oder

(1)	$W={\frac {\varepsilon ^{2}c^{2}}{2a}}\left\{1+{\tfrac {2}{3}}\beta ^{2}+{\tfrac {2}{5}}\beta ^{4}\dots \right\}$,

für $\beta :0$ geht dies in die elektrostatische Energie des ruhenden Elektrons über:

$W_{0}={\frac {\varepsilon ^{2}c^{2}}{2a}}$,

also ist der durch die Bewegung erlangte Energiezuwachs

(2)	$(W-W_{0})=W_{0}\cdot {\tfrac {2}{3}}\beta ^{2}\left\{1+{\tfrac {3}{5}}\beta ^{2}\right\}$;

für die transversale Masse des Elektrons gilt die Gleichung:

(3)	$\mu ={\tfrac {2}{3}}{\frac {\varepsilon ^{2}}{a}}\left\{1+{\tfrac {2}{5}}\beta ^{2}\right\}$,

was für $\beta =0$ übergeht in:

(4)	$\mu _{0}={\tfrac {2}{3}}{\frac {\varepsilon ^{2}}{a}}$;

somit ist:

${\frac {2W_{0}\beta ^{2}}{3}}={\frac {\mu _{0}}{2}}\beta ^{2}c^{2}={\frac {\mu _{0}}{2}}q^{2}$

(da $\beta =q/c$, wo $q$ die Geschwindigkeit des Elektrons) folglich:

(5)	$W-W_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left\{1+{\tfrac {3}{5}}\beta ^{2}\right\}$.

Ist $P$ die vom Elektron durchlaufene Potentialdifferenz, so ist die geleistete elektrische Arbeit $\varepsilon P$. Diese muß gleich dem Energiezuwachs sein, also:

(6)	$\varepsilon P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left\{1+{\tfrac {3}{5}}\beta ^{2}\right\}$.

Die magnetische Ablenkung ist bestimmt durch:

(7)	$z={\frac {\varepsilon }{\mu q}}M={\frac {\varepsilon }{\mu _{0}q}}M\left(1-{\tfrac {2}{5}}\beta ^{2}\right)$.

Aus (6) und (7) folgt, durch Elimination von $q$:

(8)	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}={\frac {2Pz^{2}}{M^{2}}}\left(1+{\tfrac {1}{5}}\beta ^{2}\right)$.

Setzt man den Annäherungswert für $\varepsilon /\mu _{0}$, nämlich $2Pz^{2}/M=\alpha$, so ist in dem Korrektionsgliede mit genügender Genauigkeit, nach Gleichung (6):

$\beta ^{2}={\frac {2\varepsilon P}{\mu _{0}c^{2}}}=2\alpha {\frac {P}{c^{2}}}$,

also:

(9)	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=\alpha \left(1+{\tfrac {2}{5}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}\right)$.

Es ist bei Simon:

$\alpha =1{,}865\cdot 10^{7},\ P=8300$ Volt $=8300\cdot 10^{8}$ im Mittel,

woraus:

${\tfrac {2}{5}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}=0{,}0070$

und

(10)	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=1{,}878\cdot 10^{7}$ (Abraham).

II. Berechnung nach Bucherer.^[2] Es ist:

$W=W_{0}{\frac {1+{\frac {\beta ^{2}}{3}}}{(1-\beta ^{2})^{1/3}}}$

woraus durch Reihenentwickelung:

(11)	$W-W_{0}=W_{0}\cdot {\tfrac {2}{2}}\beta ^{2}\left(1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}\right)$,

oder

(12)	$W-W_{0}=\varepsilon P={\underline {{\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left(1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}\right)}}$,

ferner:

$\mu =\mu _{0}\cdot (1-\beta ^{2})^{-1/3}$,

also

(13)	$z={\frac {\varepsilon }{\mu q}}M={\frac {\varepsilon }{\mu _{0}q}}M(1-\beta ^{2})^{1/3}$,

woraus wieder durch Elimination von $q$:

(14)	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}={\frac {2Pz^{2}}{M^{2}}}(1+{\tfrac {1}{6}}\beta ^{2})$,

oder in gleicher Bezeichnungsweise wie bei I:

(15)	${\underline {{\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=\alpha \left(1+{\tfrac {1}{3}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}\right)}}$.

Es ist

${\tfrac {1}{3}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}=0{,}0059$,

somit:

(16)	${\underline {{\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=1{,}876\cdot 10^{7}}}$ (Bucherer).

III. Berechnung nach Lorentz. Beim Lorentzschen Elektron ist, wie bereits in der Einleitung erwähnt, das Energieprinzip nur dann aufrecht zu erhalten, wenn man dem Elektron nach Abraham (l. c. p. 207) eine innere Energie $E$ zuschreibt, für welche die Gleichung gilt:

(17)	${\frac {dE}{dq}}=-{\frac {\mu _{0}}{4}}{\frac {q}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

und dann setzt:

(18)	$\left\{{\begin{aligned}\varepsilon P=(W-W_{0})+\int \limits _{0}^{q}{\frac {dE}{dq}}dq&=W-W_{0}+{\frac {\mu _{0}c^{2}}{4}}\left\{{\sqrt {1-\beta ^{2}}}-1\right\}\\&=W-W_{0}-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{2\cdot 4}}\left\{1+{\frac {\beta ^{2}}{4}}\right\},\end{aligned}}\right.$

für $W$ gilt:

(19)	$W={\frac {\varepsilon ^{2}c^{2}}{2a}}{\frac {1+{\frac {\beta ^{2}}{3}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=W_{0}{\frac {1+{\frac {\beta ^{2}}{3}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$,

woraus durch Reihenentwickelung:

(20)	$W-W_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\cdot {\frac {5}{4}}\left[1+{\tfrac {13}{20}}\beta ^{2}\right]$

oder

(21)	$\varepsilon P={\frac {\mu _{0}}{2}}q^{2}\left\{{\tfrac {5}{4}}\left[1+{\tfrac {13}{20}}\beta ^{2}\right]-{\tfrac {1}{4}}\left[1+{\tfrac {1}{4}}\beta ^{2}\right]\right\}$,

oder

(22)	$\varepsilon P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{2}}\left\{1+{\tfrac {3}{4}}\beta ^{2}\right\}$.

Ferner ist

(23)	$\mu =\mu _{0}(1-\beta ^{2})^{-1/2}$,

woraus

(24)	${\underline {z^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}}{\mu _{0}^{2}}}\cdot {\frac {M^{2}}{q^{2}}}(1-\beta ^{2})}}$

und

(25)	${\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}={\frac {2Pz^{2}}{M^{2}}}\left(1+{\tfrac {1}{4}}\beta ^{2}\right)$

oder

(26)	${\underline {{\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=\alpha \left(1+{\tfrac {1}{2}}\alpha {\frac {P}{c^{2}}}\right).}}$

Es ist

${\frac {a}{2}}{\frac {P}{c^{2}}}=8{,}8\cdot 10^{-3}$

und

(27)	${\underline {{\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=1{,}881\cdot 10^{7}}}$ (Lorentz).

Da die Unterschiede in $\varepsilon /\mu _{0}$ nach I, II und III innerhalb der Beobachtungsfehler liegen, so genügt es den Mittelwert zu nehmen:

${\underline {{\frac {\varepsilon }{\mu _{0}}}=1{,}878\cdot 10^{7}.}}$

Anhang IV.
Grenzen des $\beta$-Strahlenspektrums.

Die Grenzen der gemessenen Kurve stellen nicht die wirklichen Grenzen des überhaupt sichtbaren „Spektrums“ der $\beta$-Strahlen dar. Dieses erstreckt sich beiderseits noch ein Stück über die Grenze der genauen Meßbarkeit heraus. Wie weit sich die Kurve noch verfolgen läßt, hängt natürlich sehr von dem Zustand der Platten ab. Weitaus am klarsten waren die ersten, noch von den Vorversuchen stammenden Platten, bei deren Aufnahme der Apparat noch nicht merklich durch induzierte Aktivität infiziert war. Auf Platte Nr. 1, die ohne elektrisches Feld aufgenommen war, ließ sich die Kurve nach außen bis $z_{b}=0{,}71$, also $z'=0{,}655$ verfolgen. Auf Platte 2 lag die innere Sichtbarkeitsgrenze bei etwa $z_{b}=z'=0{,}06$.

Diesen beiden Grenzen entsprechen nach Abraham und Bucherer folgende Werte von $\beta$:

$z_{b}$	$\beta$ $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad }$
	Abraham	Bucherer
0,06	0,9995	0,9975
0,71	0,4800	0,4800

Der Intensitätsabfall an beiden Grenzen ist ein sehr allmählicher; man kann kaum sagen, ob jenseits der angegebenen Grenzen die Intensität wirklich Null wird, oder nur zu schwach, um sich von dem allgemeinen Schleier, der die Platte bedeckt, genügend abzuheben. Vermutlich nähert sich die Intensität der Strahlen nach beiden Seiten hin asymptotisch der Grenze Null.

Da die Starkeschen Messungen (l. c.) bis zu etwa $\beta =0{,}38$ reichen, so ist das noch unerforschte Gebiet ein verhältnismäßig kleines. Es erscheint durchaus nicht unmöglich, die Lücke mittels Kathodenstrahlen zu überbrücken, denn für $\beta =0{,}5$ bedarf es einer Spannung von rund 140000 Volt; derartige Spannungen sind aber an harten X-Strahlenröhren nichts Außergewöhnliches. Mit Kathodenstrahlen derartiger Geschwindigkeit wird also tatsächlich operiert; es handelt sich bloß noch darum, an diesen auch Messungen auszuführen. In diesem Gebiet von $\beta =0$ bis $\beta =0{,}5$ weichen aber die beiden Kurven von Abraham und Bucherer am meisten voneinander ab; dort allein ist somit eine sichere Entscheidung möglich.

Anhang V.
Hilfstabelle für Abrahamsche Theorie.

$\beta$	$3/4\cdot u$	$3/4\cdot v$	$dv/du$
0,55	1,1842	2,1531
			3,15
0,56	1560	0642
			3,07
0,57	1285	1,9799
			3,00
0,58	1018	8997
			2,93
0,59	0758	8234
			2,87
0,60	0505	7509
			2,80
0,61	0258	6817
			2,74
0,62	0018	6158
			2,67
0,63	0,9783	5529
			2,62
0,64	9554	4928
			2,56
0,65	9330	4354
			2,50
0,66	9110	3803
			2,45

$\beta$	$3/4\cdot u$	$3/4\cdot v$	$dv/du$
			2,45
0,67	0,8894	1,3275
			2,40
0,68	8684	2770
			2,34
0,69	8477	2285
			2,28
0,70	8273	1819
			2,24
0,71	8073	1370
			2,19
0,72	7877	0940
			2,15
0,73	7683	0524
			2,09
0,74	7491	0123
			2,05
0,75	7303	0,9737
			2,00
0,76	7117	9364
			1,95
0,77	6932	9003
			1,91
0,78	6749	8653
			1,87

Hilfstabelle (Fortsetzung).

$\beta$	$3/4\cdot u$	$3/4\cdot v$	$dv/du$
			1,87
0,79	0,6569	0,8315
			1,83
0,80	6389	7986
			1,78
0,81	6210	7667
			1,74
0,82	6032	7356
			1,70
0,83	5855	7054
			1,67
0,84	5678	6759
			1,63
0,85	5500	6470
			1,59
0,86	5321	6187
			1,55
0,87	5142	5910
			1,51
0,88	4961	5637
			1,47
0,89	4777	5367
			1,43
0,90	4590	5100
			1,40
0,905	4495	4967
			1,38
0,91	4399	4834
			1,36
0,915	4301	4701
			1,34
0,92	4202	4568
			1,33
0,925	4101	4434
			1,31
0,93	3999	4300
			1,29

$\beta$	$3/4\cdot u$	$3/4\cdot v$	$dv/du$
			1,29
0,935	0,3894	0,4165
			1,27
0,94	3786	4028
			1,25
0,945	3675	3889
			1,24
0,95	3561	3748
			1,22
0,955	3442	3603
			1,19
0,96	3317	3455
			1,16
0,965	31845	3300
			1,15
0,97	3044	3138
			1,13
0,975	2893	2967
			1,11
0,98	2725	2781
			1,09
0,985	2534	2573
			1,07
0,99	2306	2329
			1,04
0,995	1994	2004
			1,03
0,996	1911	1919
			1,03
0,997	1813	1818
			1,01
0,998	1683	1686
			1,00
0,999	1513	1515
			1,00
0,9995	1370	1371

Hilfstabelle für Bucherersche Theorie.

$\beta$	$u$	$v$	$dv/du$
0,50	1,8171	3,6342
			3,55
0,52	7312	3294
			3,37
0,54	6508	0581
			3,25
0,56	5752	2,8129
			3,09
0,58	5039	5929
			2,95
0,60	4363	3938
			2,82
0,62	3721	2130
			2,69
0,64	3108	0481
			2,57
0,66	2522	1,8972
			2,46
0,68	1957	7584
			2,35
0,70	1413	6305
			2,25
0,72	0888	5121
			2,15
0,74	0378	4019
			2,05
0,76	0,9872	2990
			1,96
0,78	9380	2026
			1,87

$\beta$	$u$	$v$	$dv/du$
			1,87
0,80	0,8892	1,1115
			1,78
0,82	8407	0253
			1,69
0,84	7920	0,9428
			1,60
0,86	7425	8634
			1,52
0,88	6918	7861
			1,44
0,90	6388	7097
			1,38
0,91	6110	6714
			1,34
0,92	5821	6327
			1,30
0,93	5517	5933
			1,26
0,94	5194	5526
			1,22
0,95	4845	5100
			1,18
0,96	4458	4644
			1,14
0,97	4017	4142
			1,10
0,98	3478	3549
			1,06
0,99	2737	2765

Bonn, den 1. Januar 1906.

(Eingegangen 3. Januar 1906.)

---

---

1. M. Abraham, Theor. d. Elektr. 2. p. 179. Leipzig 1905.
2. A. Bucherer, Math. Einf. in die Elektronentheorie. p. 58. Leipzig 1904.