Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften/Die Catoptrick

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Die Catoptrick
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[324]
Anfangs-Gründe
der
Catoptrick.


Die 1. Erklärung.
1.

Die Catoptrick ist eine Wissenschaft der sichtbaren Dinge, in so weit sie durch Hülfe der Spiegel gesehen werden.

Die 2. Erklärung.

2. Durch den Spiegel verstehen wir eine jede Fläche, die oben platt oder poliret ist, hinten aber einen schwarzen oder undurchsichtigen Grund hat.

Die 3. Erklärung.

3. Die Fläche des Spiegel ist entweder eben, oder erhaben, oder hohl. In dem ersten Falle heisset es ein platter Spiegel; in dem andern ein erhabener Spiegel; in dem dritten ein Hohlspiegel. Die Spiegel von der andern Art sind insgemein entweder sphärische, oder cylindrische, oder conische

Die 1. Aufgabe.

4. Eine grosse gläserne Tafel zu poliren.

Auflösung.

1. Befestiget eine gläserne Tafel mit Gyps auf einer hölzernen, die mit einem etwas erhabenen Rande umgeben, und unbeweglich stehet.

2. Auf eine etwas kleinere befestiget gleichfalls mit Gyps eine etwas kleinere gläserne. Auf der andern [325] Seite der hölzernen muß ein offener Kasten gemacht werden, damit ihr ihn mit Steinen beschweren könnet.

3. Bestreuet die untere Tafel mit Sande, der durch ein Sieb vorher gesiebet worden, damit die Körner fein gleich sind, und feuchtet ihn mit Wasser an.

4. Denn reibet die kleine gläserne Tafel an der grossen, und wenn sie sich beide gleich abgerieben, nehmet etwas kleinern Sand. Zuletzt reibet die Tafeln ohne Sand, oder mit etwas geschlemmeten Schmergel, bis sie ganz eben werden und einigen Glanz bekommen.

5. Wenn sie nun zum Poliren geschickt sind; so schleifet auf einer eisernen Scheibe mit Sande die Ränder.

6. Endlich befestiget die hölzerne Tafel, daran die gläserne angegypset, an einem Tische, und nehmet ein viereckigtes, viel länger als breites Holz, überziehet es mit Leder, das Leder bestreichet unten mit Tripel[WS 1], oder Zinnasche, und reibet damit das Glas, bis es recht helle und klar wird.

Die 2. Aufgabe.

5. Einen platten gläsernen Spiegel zu machen.

Auflösung.

1. Leget auf eine hölzerne Tafel Löschpapier, und überstreuet es mit geschabeter Kreide. Darüber aber leget ein Blat von Englischem Zinne, und breitet es fein eben aus, damit nirgend eine Runzel bleibe.

[326] 2. Giesset auf das Englische Zinn Quecksilber, und breitet es durch dasselbe mit Baumwolle aus, damit es davon durchfressen wird.

3. Leget ein weisses Papier darauf, nachdem ihr es abgekehret, und wenn ihr die gläserne polirte Tafel mit einem reinen leinenen Tuch abgewischet, so leget sie auf das Papier.

4. Drücket mit der linken Hand auf das Glas, und ziehet mit der rechten das Papier darunter weg. Decket es oben mit reinem Papiere zu: darauf leget eine Pappe, und beschweret sie mit einem Gewichte.

5. Lasset das übrige Quecksilber abfliessen, und hernach den Spiegel ein wenig stehen; so wird sich das Zinn mit dem Quecksilber feste anhängen und geschehen, was man verlangete.

Die 1. Erfahrung.

6. Haltet einen Stab perpendicular an einen Spiegel; so wird sein Bild im Spiegel mit ihm eine gerade Linie machen, er mag platt, oder erhaben, oder hohl seyn.

Der 1. Zusatz.

7. In dem Spiegel siehet man jeden Punct in der Linie, die von ihm auf die Spiegelfläche perpendicular gezogen wird.

Der 2. Zusatz.
8. Man siehet ihn aber auch in dem zurückgezogenen reflectirten Strahle, und also da, wo dieser Strahl die gedachte Perpendicularlinie durchschneidet. [327]
Anfangsgründe der Mathematik II b A 013 c 01.jpg
Der 1. Lehrsatz.

9. Wenn man eine Sache mit einem platten Spiegel siehet; so erscheinet jeder Punct A so weit hinter dem Spiegel in F, als er von dem Spiegel wegstehet.[Fig. 1]

Beweis.

Ziehet AF auf den Spiegel DE perpendicular. Man soll erweisen (§. 8.) daß AG = FG. Bey G sind rechte Winkel, und weil o = x (§. 12. Optic.) und y = x (§. 40. Geom.); so ist auch y = o (§. 22. Arithm.). Daher ist FG = AG (§. 50. Geom.). W. Z. E.

Der 1. Zusatz

10. Dannenhero muß die Sache in ihrer wahren Gestalt und Größe hinter dem Spiegel erscheinen.

Der 2. Zusatz

11. Wenn der Spiegel DE horizontal lieget; so muß der Punct A so tief unter dem Spiegel erscheinen, als er über ihm stehet. Und darum stehet alles in ihm umgekehret. Eben dieses geschiehet, wenn er an der Decke horizontal befestiget ist.

Der 3. Zusatz
12. Wenn ihr den Rücken gegen einen Spiegel kehret, hingegen einen andern Spiegel dergestalt haltet, daß die von dem ersten Spiegel reflectirte Strahlen, so von eurem Rücken hineingefallen, mit ihm aufgefangen, und wieder in euer Auge reflectiret werden; so könnet ihr in dem andern Spiegel euch von vorne und von hinten zugleich sehen. [328]
Die 3. Aufgabe.

13. Einen gläsernen sphärischen Spiegel zu machen.

Auflösung.

1. Schmelzet einen Theil Zinn, und einen Theil Marchasit in einem reinen Tiegel, und wenn es in Fluß gebracht worden, so werfet zwey Theile Quecksilber hinein.

2. Sobald es zu rauchen anfänget, giesset die geschmolzene Materie in reines Brunnenwasser, und sobald sie abgekühlet, giesset das Wasser wieder ab.

3. Drücket die abgekühlete Materie durch ein reines doppeltes leinenes Tuch, und was durchgehet,

4. schüttet in eine hohle gläserne Kugel, die inwendig ganz rein ist

5. Wendet die Kugel fein sanfte herum; so wird sich die Materie allenthalben anlegen. Das übrige giesset wieder heraus.

Anmerkung.

14. Wenn ihr grüne, rothe, gelbe oder von anderer Art Farbe Kugeln nehmet; so bekommet ihr auch Spiegel, darinnen alles grün, roth, gelb, oder von einer anderen Farbe aussiehet.

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Der 2. Lehrsatz.

15. In einem sphärischen Spiegel EBG wird jeder Punct einer Sache A zwischen dem Mittelpuncte C und der Fläche der Kugel gesehen.[Fig. 2]

Beweis.

Wenn ihr von dem Puncte A eine Perpendicularlinie [329] AH auf den sphärischen Spiegel ziehet; so gehet sie durch den Mittelpunct der Kugel C (§. 40. Mech.). Ziehet eine gerade Linie IK, welche den Circul EBG im Einfallspuncte B berühret. Mit dieser machet der Radius CB einen rechten Winkel (§. 40. Mech.): hingegen wenn der Einfallswinkel ABI eine spitziger Winkel ist, so machet auch der reflectirte Strahl DB mit BK einen spitzigen Winkel (§ 12. Optic.). Da nun der Verticalwinkel FBI ihm gleich ist (§. 40. Geom.); so fället der reflectirte Strahl BD, wenn er über den Punct B continuiret wird, zwischen die Seiten des rechtwinkelichten Triangels CBI, und muß endlich an sein gröste Seite CI in F stossen. Und dannenhero siehet man den Punct A innerhalb dem Mittelpuncte C und der Kugelfläche EHBG (§. 8). W. Z. E.

Der 1. Zusatz.

16. Derowegen kan die Linie AH, sie mag so groß seyn, wie sie will, nicht grösser als die Linie FH aussehen (§. 8.); und also ist das Bild im Spiegel viel kleiner als die Sache; auch viel kleiner als der halbe Diameter CH.

Der 2. Zusatz.

17. Wenn man mit dem Radio BO aus dem Mittelpuncte O einen Circul beschreibet, der die Linie AC in L durchschneidet; so ist klar, daß das Bild FL von der Linie HA in einem kleinen Spiegel kleiner ist, als in dem grossen.

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Der 3. Lehrsatz.

18. Wenn ein cylindrischer Spiegel AB [330] aufgerichtet stehet; so siehet in demselben alles sehr lang, aber überaus schmal aus. Wenn er aber horizontal gehalten wird; so muß die Sache in ihm breit, aber sehr kurz aussehen.[Fig. 3]

Beweis.

Nach der Länge AD herunter kan man auf der cylindrischen Spiegelfläche lauter gerade Linien ziehen (§. 179. Geom.), und also stellet er nach der Länge einen platten Spiegel vor. Nach der Breite aber sind lauter Circulperipherien (§. 181. Geom.), und dannenhero stellet er nach der Breite einen spährischen Spiegel vor (§. 177. Geom.). Da nun die platten Spiegel die Sachen in ihrer rechten Größe darstellen (§. 10.), die sphärischen aber sie verkleinern (§. 6.); so sehen die Sachen in einem cylindrischen Spiegel lang, aber überaus schmal aus. Welches das erste war.

Auf gleiche Art wird erwiesen, daß sie in dem andern Falle kurz und breit aussehen müssen. Welches das andere war.

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Der 4. Lehrsatz
19. In einem conischen Spiegel GFH, wenn er aufgerichtet ist, sehen alle Sachen lang, aber dabei schmal, oben sehr zugespitzet, und unten viel breiter aus: wenn aber seine Axe mit dem Horizont parallel, oder gegen denselben schief gehalten wird, sehr kurz, und auf einer Seite viel kleiner, als auf der anderen.[Fig. 4] [331]
Beweis.

Nach der Länge lassen sich auf einer conischen Fläche lauter gerade Linien ziehen, nach der Breite sind lauter Circulperipherien, die von der Grundfläche GH an gegen die Spitze F immer abnehmen (§. 186. Geom.) Derowegen hat ein conischer Spiegel nach der Länge die Eigenschaft eines platten, nach der Breite aber verschiedener sphärischer Spiegel. Da nun die platten Spiegel die Grössen unverändert lassen (§. 10.), die sphärischen aber sie um so mehr verkleinern, je geringer ihr Diameter ist (§. 17.); so müssen in einem aufgerichteten conischen Spiegel GFH die Sachen lang und schmal, und zwar oben viel schmäler als unten aussehen.

Die 4. Aufgabe.

20. Einen gläsernen Hohlspiegel zu machen.

Auflösung.

Nehmet ein Glas, so auf einer Seite eben, auf der andern erhaben geschliffen ist, und überleget es auf der erhabenen Seite; so habet ihr einen Hohlspiegel.

Anmerkung.

21. Sie werden auch aus 8 Theilen Kupfer, einem Theile Englischen Zinn und 5 Theilen Marchasit gegossen, und auf der hellen Seite poliret. Diese Spiegel pfleget man stählerne Spiegel zu nennen.


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Der 5. Lehrsatz.

22. Wenn ein Strahl BD mit der Axe des Spiegels AX parallel einfället, und unter [332] 60 Graden von der Axe weg ist; so wird er nach der Reflexion in B mit der Axe in F vereiniget, in einer geringen Weite von dem Spiegel, als der vierte Theil des Diameters oder der halbe Radius ist.[Fig. 5]

Beweis

Weil der halbe Diameter BC auf dem Spiegel perpendicular stehet (§. 40. Mech.); so ist x = y. Denn y machet mit dem Reflexionswinkel, und x mit dem Einfallswinkel 90° (§. 12. Optic. & §. 25. Arithm.). Da nun BD und AX parallel sind; so ist o = x (§. 72. Geom.), folgends auch o = y (§. 22. Arithm.). Derowegen ist FC = FB (§. 81. Geom.). Nun ist CX = BC (§. 27. Geom.), BF + FC aber grösser als BC (§. 26. Geom.), folgends auch grösser als CX, und demnach FC grösser als FX. Also ist FX kleiner als der halbe Radius oder der vierte Theil des Diameters. W. Z. E.

Der. 1. Zusatz

23. Weil m = n, wie aus dem Beweise des gegenwärtigen Lehrsatzes erhellet, so ist n = 60°, wenn der Bogen EX 60° ist (§. 16. Geom.). Derowegen ist der zurückgeworfene Strahl EX dem Radio CX gleich (§. 82. Geom.), und fället der zurückgeworfene Strahl wieder auf den Spiegel in X.

Der 2. Zusatz

24. Da die Sonnenstrahlen dem Augenschein nach parallel sind; so werden auch alle, die hin und wieder auf die Spiegelfläche fallen, [333] in einem engen Raume in F zusammengebracht. Weil nun hierdurch ihre Kraft vermehret wird; so ist es kein Wunder, daß, ob sie gleich vorhin nur warm machten, sie jetzund gar anzünden, ja wenn der Spiegel groß ist, harte Körper, als Steine und Metalle, schmelzen.

Anmerkung.

25. Daher pfleget man die Hohlspiegel Brennspiegel zu nennen, unter welchen aus dem Altherthume des Archimedis seine berühmt, damit er die Flotte der Römer angezündet haben soll. In unseren Zeiten hat niemand grössere Brennspiegel gemachet, als der Herr von Tschirnhausen, dadurch er fast in einem Augenblicke Bley geschmelzet, Eisen glühend gemachet, ja innerhalb 5 Minuten Kupfer und Silber in Fluß gebracht, die Dachziegel, Scherben von Töpfen, Knochen und andere harte Materien in Glas verwandelt. Man machet aber die Brennspiegel nicht gerne über 15 Grade (§. 22.).

Der 3. Zusatz.

26. Weil die Fläche eines Brennspiegels, dessen Höhle von einer grössern Kugel ist, mehr Sonnenstrahlen auffangen und in den Brennpunct zurücke werfen kan, als ein kleinerer; so brennet ein grosser Brennspiegel besser, als ein kleiner.

Der 4. Zusatz.

27. Weil der vierte Theil von einem grossen Diameter grösser ist, als eben derselbe Theil von einem kleinen; so muß ein grosser Brennspiegel weiter brennen, als ein kleiner (§. 22.).

Der 5. Zusatz.

28. Daß die Sonnenstrahlen brennen, rühret bloß daher, weil sie durch die Reflexion in einem engen Raume zusammengebracht werden [334] (§. 22.). Darum ist es kein Wunder, daß man Brennspiegel aus festem Holze oder Pappe machen kan, so vergüldet und poliret, oder auch mit Stroh beleget werden.

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Der 6. Zusatz.

29. Wenn ein Licht in den Brennpunkt F gesetzet wird; so sind die reflectirten Strahlen alle der Axe, und auch unter einander selbst parallel. Denn der einfallende Strahl ist alsdenn FB, und daher der reflectirte BD (§. 12. Optic.).[Fig. 5]

Der 7. Zusatz.

30. Wenn ihr demnach die parallel reflectirte Strahlen mit einem andern Brennspiegel auffanget; so könnet ihr gleichfals mit demselben brennen.

Der 8. Zusatz.

31. Wenn die Strahlen parallel sind; so bleibt das Licht immer gleich stark. Darum könnet ihr einen weit entlegenen Ort (z. E. die Stundenscheibe mit dem Zeiger an einem Thurme aus eurem Fenster) helle erleuchten, wenn ihr ein Licht, oder eine Lampe in den Brennpunct eines Hohlspiegels setzet.

Anmerkung.

32. Doch lässet sich nicht auf diese Weise das Licht durch viele Meilen ohne den geringsten Abbruch werfen: denn es wird durch den Widerstand der Luft immer nach und nach geschwächet.

Der. 6. Lehrsatz.
33. Wenn eine Sache in dem Brennpuncte eines Hohlspiegels lieget; so kan sie in ihm gar nicht gesehen werden. [335]
Beweis.

Wir sehen in jedem Punct einer Sache, wo der reflectirte Strahl mit der Perpendicularlinie, die von ihr auf den Spiegel gezogen wird, zusammenstösset (§. 8.), das ist, in gegenwärtigem Falle mit der Axe des Spiegels, weil in ihr der Brennpunct ist, darinnen die Sache lieget (§. 28.). Nun wenn die Sache im Brennpuncte stehet; so sind die reflectirten Strahlen mit der Axe parallel (§. 22.), und stossen mit ihr nirgends zusammen (§. 22. Geom.). Derowegen kan sie im Spiegel gar nicht gesehen werden. W. Z. E.

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Der 7. Lehrsatz

34. Wenn eine Sache a b zwischen dem Brennpuncte P und dem Hohlspiegel stehet; so siehet man das Bild AB hinter dem Spiegel vergrössert und aufgerichtet, und zwar um desto grösser, je näher die Sache dem Brennpuncte ist.[Fig. 6]

Beweis

VO sey die Axe des Hohlspiegels, AM und NB mit ihr parallel, und in P der Brennpunct; so sind aK und bL die beiden äussersten einfallenden Strahlen, und KM und LN die reflectirten. Da nun der von a auf den Spiegel gezogene Perpendicul durch den Mittelpunct des Spiegels I gehet; so wird der Punct a in A und b in B (§. 8.), folgends das Bild AB hinter dem Spiegel aufgerichtet und grösser als ab gesehen. Da nun auf gleiche Weise erhellet, daß [336] CD das Bild von cd, hingegen cd grösser als ab und CD = AB ist; so ist ferner klar, daß das Bild von cd näher hinter dem Spiegel erscheinet, und wenn es dem Spiegel näher ist, weniger vergrössert wird. W. Z. E.

Der 8. Lehrsatz.

35. Wenn eine Sache ef weiter als der Brennpunct P von dem Spiegel weg ist; so erscheinet sie in freyer Luft, aber verkehret, und näher bey dem Spiegel, auch kleiner, je weiter sie von dem Brennpuncte stehet.[Fig. 6]

Beweis.

Es erhellet, wie in dem vorhergehenden Beweise, das FE das Bild von ef, und HG das Bild von gh sey, folgends das Bild von ef und gh verkehret in der Luft gesehen werde, und zwar näher bey dem Spiegel, auch kleiner, je weiter die Sache vom Brennpuncte weg ist. W. Z. E.


Ende der Catoptrick

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Tripel: alte Bezeichnung für Kieselgur