Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften/Die Hydrostatick

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Die Hydrostatik
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von: Christian Wolff
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[244]
Anfangs-Gründe
der
Hydrostatick.
Die 1. Erklärung.
1.

Die Hydrostatick ist eine Wissenschaft von der Würkung der flüßigen Materie in die Schwere der Körper.

Die 2. Erklärung.

2. Die Materie wird flüßig genennet, wenn ihre Theilchen nicht feste zusammenhangen, sondern sich leicht trennen lassen.

Anmerkung.

3. Diese Eigenschaft der flüßigen Körper erkennet man, indem sie andere Körper sich frey durch sich bewegen lassen, durch ihre eigene Schwere in Tropfen zertheilet werden, die Figur eines jeden Gefässes im Augenblicke annehmen, und wenn sie in keinem Gefässe sind, zerfliessen.

Die 3. Erklärung.

4. Ein fester Körper ist hingegen, dessen Theilchen dergestalt zusammenhangen, daß sie nicht ohne Mühe sich trennen lassen.

Die 4. Erklärung.

5. Ein Körper von leichterer Art ist der, welcher mit einem anderen Körper einerley Grösse haben kan, aber weniger Schwere.

Die 5. Erklärung.

6. Hingegen ein Körper von schwererer Art ist, welcher mit einem andern einerley Grösse und mehr Schwere haben kan.

[245]
Anmerkung.

7. Wenn eine bleyerne Kugel so viel Raum einnimmt, als eine steinerne; so ist sie doch schwerer, als die steinerne. Derowegen ist das Bley ein Körper von schwererer Art als der Stein, und hingegen der Stein ein Körper von leichterer Art als das Bley.

Die 6. Erklärung.

8. Eine widerstehende Kraft wird diejenige genennet, welche die Würkung einer andern entweder ganz, oder zum Theil zu nichte machet.

Der 1. Grundsatz.

9. Die schweren Körper drucken andere, auf denen sie liegen, und suchen sie aus ihrer Stelle zu jagen (§. 22. Mech.).

Der 2. Grundsatz.

10. Wenn ein Körper schwerer ist, als ein anderer; so drucket er auch gewaltiger niederwärts.

Der 3. Grundsatz.

11. Wenn zwey oder mehrere Körper einerley Schwere haben; so drucken sie gleichviel.

Der 4. Grundsatz.

12. Wenn zwey Körper, oder mehrere, einerley Grösse, aber verschiedene Schwere haben; so wendet der schwerere mehr Kraft an zum Drucken, als der leichtere.

Der 5. Grundsatz.

13. Wenn zwey Körper einander mit gleicher Gewalt, aber nach entgegengesetzten Directionslinien drucken; so folget keine [246] Bewegung. Wenn aber der eine etwas mehr drucket, als ihm Widerstand geschiehet; so geschiehet die Bewegung nach der Directions-Linie des stärkeren.

Lehnsatz.

14. Wenn zwey Cylinder von gleicher Grösse sind, und doch ungleiche Höhen und Grundflächen haben; so muß die Höhe des ersten in der Höhe des andern so vielmal enthalten seyn, als die Grundfläche des andern in der Grundfläche des ersten.

Beweis.

Wenn zwey Cylinder einander gleich sind; so muß einerley herauskommen, wenn man die Grundfläche eines jeden durch seine Höhe multipliciret (§. 197. Geom.). Wenn sich die Höhe des ersten zu der Höhe des andern verhält, wie die Grundfläche des andern zu der Grundfläche des ersten; so ist das Product aus der Grundfläche des ersten in seine Höhe dem Producte aus der Grundfläche des andern in seine Höhe gleich (§. 81. Arithm.). Derowegen wenn zwey Cylinder einander gleich sind; so verhält sich die Höhe des ersten zu der Höhe des andern, wie die Grundfläche des andern zu der Grundfläche des ersten. W. Z. E.

Der 1. Lehrsatz.

15. Wenn zwey Röhren, da das Wasser oder ein flüßiger Körper aus einer in die andere kommen kan, mit Wasser gefüllet werden; so stehet dasselbe in der einen Röhre so hoch, wie in der andern.

[247]
Beweis.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 008 001.jpg

Der erste Fall.[Fig. 1] Wenn beide Röhren AB und CD auf der Horizontallinie rechtwinkelicht stehen, und über dieses gleiche Diametros haben; so ist das Wasser beiderseits von gleichem Inhalt, wenn es gleichhoch stehet (§. 193. Geom.), und daher auch von gleicher Schwere. Derowegen wendet das Wasser EB so viel Kraft an, das Wasser BD aus seiner Stelle zu jagen, als das Wasser FD anwendet (§. 9. 11.), und solchergestalt kan keines das andere austreiben (§. 13.); folgends muß es in einer Röhre so hoch als wie in der andern stehen bleiben. Welches das erste war.


Anfangsgründe der Mathematik II b A 008 002.jpg

Der andere Fall.[Fig. 2] Wenn die Grundfläche der Röhre GI viermal so groß ist, als die Grundfläche der Röhre HK, und das Wasser setzte sich in der grossen aus L in O z. E. um einen Zoll: so müste es in der kleinen aus M in N um 4 Zoll steigen (§. 14.). Dannenhero wenn in der grossen Röhre 4. Pf. durch 1’ beweget würden; müste sich in der kleinen 1 Pf. durch 4’ bewegen. Da nun beide Bewegung Eine Kraft erfordert (§. 65. Mech.), und ihre Directionslinien einander entgegengesetzet sind; so kan das Wasser in der grossen Röhre GI das andere in der kleinen HK nicht höher heben, als es stehet. Welches das andere war.


Anfangsgründe der Mathematik II b A 008 003.jpg

Der dritte Fall.[Fig. 3] Wenn die eine Röhre PQ mit der Horizontallinie einen rechten, die andere RS mit ihr einen schiefen Winkel machet; so könnet ihr die Schwere des Wassers in der Röhre SR als eine Kugel auf einer schiefliegenden Fläche ansehen. Und dannenhero vermag das Wasser in der [248] Röhre RS eben so viel, als das Wasser in der Röhre TV, wenn es beiderseits gleichhoch stehet (§. 82. Mech.). Nun hält das Wasser in der Röhre TV das Wasser in der Röhre PQ auf, wenn es beiderseits gleichhoch stehet, vermöge des ersten und andern Falles. Derowegen muß auch das Wasser in der Röhre PQ dem Wasser in der Röhre SR die Wage halten, wenn es beiderseits gleichhoch stehet. Welches das dritte war.


Anfangsgründe der Mathematik II b A 008 004.jpg

Der vierte Fall.[Fig. 4] Hieraus ist nun ferner klar, daß das Wasser in zwey Röhren XW und YZ einander die Wage hält, wenn es beiderseits nur gleichhoch stehet, die Röhren mögen auch ganz verschiedene Winkel mit der Horizontallinie machen, und von ganz verschiedener Weite seyn. Welches das vierte war.


Der 1. Zusatz.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 008 005.jpg

16. Derowegen, wenn ihr in den Boden eines Fasses, welches inwendig ausgepichet ist, eine lange Röhre von Blech einsetzet, und in C fest verpichet, daß weder Luft noch Wasser durch kan, über dieses so wohl das ganze Faß AB, als die Röhre CD mit Wasser vollfüllet; so werdet ihr sehen, daß das wenige Wasser in der Röhre CD den Boden AE in die Höhe hebet, wenn er gleich mit viel Centnern beschweret wird; weil nemlich das Wasser in der Röhre DC so viel drucket, als der ganze Cylinder der FA drucken würde.[Fig. 5]

Der 2. Zusatz.

17. Dannenhero hat man in dem Drucken der flüßigen Körper nur auf ihre Höhe zu sehen, und auf die Grösse der Grundfläche, welche ihrem Drucken widerstehet.

[249]
Der 2. Lehrsatz.

18. Wenn zwey Röhren, daraus der flüßige Körper aus einer in die andere kommen kan, mit flüßigen Materien von verschiedener Schwere gefüllet werden: so verhält sich bey dem Gleichgewicht die Höhe des Körpers von schwererer Art zur Höhe des Körpers von der leichteren Art, wie die Schwere des leichteren zu der Schwere des schwereren im einem gleich grossen Stücke.

Beweis.

Es sey z. E. die Röhre CD mit Quecksilber, die Röhre AB mit Wasser gefüllet. Weil das Quecksilber 14mal so schwer ist, als gleichviel Wasser; so soll man erweisen, das Wasser stehe 14mal so hoch in AB, als das Quecksilber in CD, indem sie einander die Wage halten.[Fig. 1]

Denn wenn die Röhren von gleicher Weite sind; so verhalten sich die Cylinder wie ihre Höhen (§. 210. Geom.). Derowegen wenn die Höhe des Quecksilbers in der Röhre CD der vierzehnte Theil von der Höhe des Wassers in der Röhre AB ist: so ist auch 14mal so viel Wasser in AB als Quecksilber in CD, folgends das Wasser so schwer, als das Quecksilber. Da nun das Quecksilber so viel gegen DB, als das Wasser gegen BD drucket (§. 11.); so kan keines das andere bewegen (§. 13.). Weil aber ferner nichts daran gelegen ist, ob die Röhren einerley Weite haben, oder nicht, imgleichen ob sie beide auf der Horizontallinie perpendicular stehen oder nicht (§. 15.); so wird in keinem Falle weder das Wasser das [250] Quecksilber, noch dieses jenes bewegen können, wenn jenes 14mal so hoch stehet, als dieses, und also die Höhen die bemeldete Verhältniß haben. W. Z. E.

Der 3. Lehrsatz.

19. Wenn ein Körper von einer schwereren Art, als eine flüßige Materie ist, in derselben eingetauchet wird, verlieret er so viel von seiner Schwere, als die flüßige Materie wieget, die er ausjaget.

Beweis.

Es wird z. E. ein Cubicschuh Bley im Wasser eingetauchet; so soll erwiesen werden, daß er so viel von seiner Schwere verlieret, als ein Cubicschuh Wasser wieget. Der Cubicschuh Wasser, den das Bley ausjaget, wurde von dem umstehenden Wasser in seiner Stelle erhalten. Wenn nun das Bley in seine Stelle kommet; so muß von dem umstehenden Wasser eben so viel von seiner Schwere erhalten werden, als das Wasser wieget, so daraus gejaget worden. Dannenhero gehet dem Bleye so viel von seiner Schwere ab, als ein Cubicschuh Wasser wieget. W. Z. E.

Der 1. Zusatz.

20. Weil nun ein Cubicschuh Eisen so viel von seiner Schwere im Wasser verlieret, als ein Cubicschuh Bley, und doch ein Cubicschuh Bley schwerer ist, als ein Cubicschuh Eisen; so ist klar, daß das Eisen und überhaupt ein jeder Körper von einer leichtern Art in einerley flüßiger Materie, z. E. im Wasser, einen grösseren [251] Theil von seiner Schwere verlieret, als das Bley oder überhaupt ein jeder Körper von einer schwereren Art.

Der 2. Zusatz.

21. Wenn also gleich ein Körper von einer schwereren Art, z. E. Bley, mit einem Körper von einer leichteren Art, z. E. Eisen, in der Luft die Wage hält; so halten sie doch nicht im Wasser, oder in einer andern flüßigen Materie einander die Wage, sondern das Bley giebet einen Ausschlag.

Der 3. Zusatz.

22. Weil ein Cubicschuh Bley im Wasser so viel von seiner Schwere verlieret, als ein Cubicschuh Wasser wieget, und hingegen im Weine ihm so viel von seiner Schwere abgehet, als ein Cubicschuh Wein wieget; ein Cubicschuh Wasser aber schwerer ist, als ein Cubicschuh Wein; so muß das Bley mehr im Wasser, als im Weine, und also ein jeder Körper mehr von seiner Schwere in einer flüßigen Materie von einer schwereren, als von einer leichteren Art verlieren.

Der 4. Zusatz.

23. Daher bleibt ein Pfund Bley nicht im wagerechten Stande mit einem Pfunde Bley, wenn eines ins Wasser, das andere in Wein gehangen wird. Oder überhaupt zwey Körper von einerley Art und Grösse bleiben nicht im wagerechten Stande, wenn sie in flüßige Materien von verschiedener Schwere gehangen werden.

Der 5. Zusatz.

24. Die Schwere einer flüßigen Materie verhält [252] hält sich zu der Schwere eines andern Körpers von gleicher Grösse, wie das Theil der Schwere, welches ihm in derselben abgehet, zu seiner ganzen Schwere. Z. E. die Schwere des Wassers verhält sich zu der Schwere des Eisens, wie das Theil der Schwere, welches ein Cubicschuh Eisen im Wasser verlieret, zu seiner ganzen Schwere.

Die 1. Aufgabe.

25. Die Schwere einer jeden flüßigen Materie zu finden, z. E. des Weines in einem Fasse.

Auflösung.

1. Hänget einen Cubiczoll Bley in die flüßige Materie, z. E. in den Wein, und merket, wie viel er von seiner Schwere verlieret; so wisset ihr, wie viel ein Cubiczoll von der gegebenen flüßigen Materie wieget (§. 19.).

2. Suchet durch Hülfe der Geometrie den cörperlichen Inhalt der flüßigen Materie, z. E. des Weines in dem Fasse (§. 215. Geom.); so könnet ihr

3. durch die Regel Detri (§. 85. Arithm.) die Schwere der ganzen flüßigen Materie finden.

Z. E. ein Cubicschuh Bley nach dem Pariser Maasse verlieret im Wasser 72 Pf. Ihr sollet finden, wie schwer 345’ Wasser sind.

 1—72—345

 72 
 690 
 2415  
 Schwere des Wassers  24840.
[253]
Zusatz.

26. Wenn euch die Schwere einer flüßigen Materie gegeben wird; so könnet ihr auf eben eine solche Art ihren cörperlichen Inhalt finden. Z. E. Man fraget, wie viel 325000 Pf. Wasser Raum einnehme.

72–1’– 325000
  1
––––––––––––––––––––
1 6 325000
3227
47384 4513’ cörperlicher Inhalt des Wassers.
325000
72222
777
Die 2. Aufgabe.

27. Die Verhältniß der Schwere einer flüßigen Materie zu der Schwere einer andern flüßigen Materie von gleicher Menge zu finden.

Auflösung.

1. Suchet, wie viel ein Cubiczoll Stein in einer flüßigen Materie, z. E. im Wasser, von seiner Schwere verlieret; so wisset ihr, wie viel ein Cubiczoll Wasser wieget (§. 19.).

2. Eben so suchet, wie viel ein Cubiczoll Stein in einer andern flüßigen Materie, z. E. im Oel, verlieret; so wisset ihr, wie viel ein Cubiczoll Oel wieget (§. 19.).

Und also verhält sich die Schwere des Wassers zu der Schwere des Oeles, wie das Gewichte, [254] welches ein Cubiczoll Stein im Wasser verlieret, zu dem Gewichte, welches eben derselbe im Oele verlieret.

Z. E. ein Cubicschuh Stein verlieret im Wasser 72 Pf., im Oele 66 Pf. Derowegen verhält sich die Schwere des Wassers zu der Schwere des Oeles, wie 72 zu 66, oder wie 12 zu 11 (§. 59. Arithm.).

Die 3. Aufgabe.

28. Aus dem gegebenen Gewichte eines Körpers, der aus zwey verschiedenen Materien zusammengesetzet worden, zugleich mit dem Gewichte, welches er in einer flüßigen Materie verlieret, die Schwere der beiden Materien insbesondere zu finden, aus deren Vermischung er entstanden.

Auflösung.

1. Machet durch die Erfahrung aus, wie viel z. E. 1 Pf. von denen beiden Materien in der gegebenen flüßigen Materie, z. E. im Wasser, von seiner Schwere verlieret; so könnet ihr

2. durch die Regel Detri ferner finden, wie viel jede von beiden Materien von ihrer Schwere verlieren würde in eben derselben flüßigen Materie, z. E. dem Wasser, wenn jede die Schwere des ganzen gegebenen Körpers hätte.

3. Ziehet das kleinere verlohrne Gewichte von dem grössern ab, und merket den Unterscheid, welcher andeutet, wie viel die Materie von der leichteren Art mehr von ihrer Schwere verlieret, als die Materie von der schwereren Art.

[255] 4. Ziehet ferner das Gewichte, welches die Materie von der schwereren Art verlieren würde, von dem Gewichte ab, welches der gegebene Körper verlieret, und merket abermals den Unterscheid, welcher andeutet, wie viel der Körper mehr als die schwere Materie von seinem Gewichte verlieret.

5. Wenn ihr nun zu dem ersten Unterscheide der Schwere des gegebenen Körpers und dem andern Unterscheide die vierte Proportionalzahl suchet (§. 85. Arithm.); so ist dieselbe das Gewichte der Materie von der leichteren Art. Derowegen, wenn ihr

6. dieses von dem ganzen Gewichte des Körpers abziehet; bleibet das Gewichte der Materie von der schwereren Art übrig.

Also ist gefunden, was man verlangte.

Exempel.

Man hat einen Klumpen von 120 Pf. aus Zinn und Bley zusammen vermischet, welcher in dem Wasser 14 Pfund verlieret. Ihr sollet finden, wie viel Pfund Bley und wie viel Pfund Zinn in demselben sind. Die Erfahrung lehret, daß 37 Pfund Zinn im Wasser 5 Pf. und 23 Pf. Bley im Wasser 2 Pf. von ihrer Schwere verlieren.

37 — 5 — 120
          5     
          Pf.
23 — 2 — 120
          2     
          Pf.

[256]

 600 —  240 = 13800 — 8880 = 4920
  37    23     851           851
  14 — 8880 = 11914 — 8880 = 3034
        851     851          851
 4920 — 3034 — 120
  41           1      (120
     1
     26
    3034 { 74 Pf. Schwere der Materie von
     421        der leichteren Art.
     4
  1.2.0 Pf. Schwere des ganzen Körpers.        
  46 Pf. Schwere der Materie von der schwerern Art.
Anmerkung.

29. Auf eben solche Weise kan die Aufgabe aufgelöset werden, welche der Hydrostatick den Ursprung gegeben, und von dem Archimede zuerst aufgelöset worden: wie viel nemlich der Goldschmid Silber unter die Krone des Königs zu Syracusa genommen, welche 18 Pf. schwer war. Denn weil 18 Pfund Gold im Wasser 1 Pf. hingegen 18 Pfund Silber 1 Pf. und endlich die Krone von ihrer Schwere verlohren; so wurde gefunden, daß zu der Krone 12 Pfund Silber und 6 Pf. Gold genommen worden.

Der 4. Lehrsatz.

30. Ein jeder Körper, welcher von schwererer Art, als eine flüßige Materie, wendet [257] in derselben so viel Kraft an, niederzusteigen, als sein Gewichte die Schwere der flüßigen Materie überschreitet, die eben so viel Raum wie er einnimmet.

Beweis.

Denn er verlieret so viel von seiner Schwere in der flüßigen Materie, als die Schwere des Theiles derselben ist, der eben so viel Raum einnimmet (§. 19.). Derowegen kan er nur die übrige Kraft zum Niedersteigen anwenden. W. Z. E.

Der 1. Zusatz.

31. Die Kraft also, welche den Körper z. E. im Wasser erhalten will, darf nicht grösser seyn, als der Körper schwerer ist, als eben so viel Wasser. Z. E. 37 Pf. Zinn verlieren im Wasser 5 Pf. Also bedürfet ihr nur 32 Pf. Kraft, sie in dem Wasser zu erhalten.

Anmerkung.

32. Also kan man aus der Grösse und Schwere eines Körpers finden, wie viel Kraft erfordert wird, ihn unter dem Wasser aufzuheben.

Z. E. die Last ist 104500 Pf. ihre Grösse 340. Ein Cubicschuh Wasser, darinnen sie versunken, wieget 72 Pf.

     340
     72  
     680
   238   
   24480   Schwere des Wassers, so der Last gleichet.
  104500   Schwere der Last.
   80020   erhaltende Kraft.
[258]
Der 2. Zusatz.

33. Da nun das Gewichte des Körpers die Schwere der flüßigen Materie, die er ausgejaget, mehr überschreitet, wenn sie von leichterer, als wenn sie von schwererer Art ist (§. 22.), so muß er auch in jener geschwinder, als in dieser untersinken. Z. E. eine bleyerne Kugel sinket im Weine geschwinder unter, als im Wasser.

Der 5. Lehrsatz.

34. Wenn ein Körper von leichterer Art ist, als eine flüßige Materie, z. E. als Wasser; so tauchet er sich so tief ein, bis das Wasser, welches so viel Raum einnimmet, als der eingetauchte Theil, so schwer ist, als der ganze Körper.

Beweis.

Es sey z. E. der Körper, so eingetauchet wird, ein hölzerner Cylinder. Bildet euch ein, das Wasser bestehe aus vielen Cylindern, die alle einander die Wage halten, weil sie einerley Höhe haben (§. 15.). Wenn ihr nun den hölzernen Cylinder auf das Wasser leget; so wird der Cylinder von Wasser unter ihm mehr drucken, als die zu den Seiten widerstehen (§. 10.), und er dannenhero das Wasser zur Seiten in die Höhe treiben (§. 13.), folgends sich eintauchen. So bald er aber so viel Wasser ausgejaget, als seiner ganzen Schwere gleichet, ist der Cylinder des Wassers, von welchem er getragen wird, nicht schwerer, als er vorhin war, da das Wasser an der Stelle war. Derowegen weil vorhin das umstehende Wasser [259] demselben die Wage hielt, muß es auch jetzt, da für einen Theil Wasser etwas gleichgültiges substituiret worden, demselben die Wage halten. Und solchergestalt kan sich der hölzerne Cylinder nicht weiter eintauchen. W. Z. E.

Der 1. Zusatz.

35. Wenn man einerley Körper auf fliessende Materien von verschiedener Art der Schwere leget; so muß er in der von einer leichteren Art sich tiefer eintauchen, als in der von einer schwereren Art; z. E. tiefer im Weine als im Wasser, weil mehr Wein als Wasser dem Körper an Schwere gleich ist.

Der 2. Zusatz.

36. Je näher die Schwere des Körpers zu der Schwere der flüßigen Materie z. E. des Wassers kommet, je tiefer tauchet sich derselbe ein. Z. E. Holz von schwererer Art tauchet sich tiefer ein, als Holz von leichterer Art.

Der 3. Zusatz.

37. Wenn also der Körper mit der flüßigen Materie einerley Art der Schwere hat, daß z. E. ein Cubicschuh desselben so viel, als ein Cubicschuh Wasser wieget; tauchet der Körper sich ganz unter und bleibet innerhalb dem Wasser stehen, wo man ihn hinstösset.

Der 4. Zusatz.

38. Wenn der Körper sich z. E. um den vierten Theil eintauchet; so wieget der vierte Theil Wasser so viel als der ganze Körper. Wenn ihr demnach vier Theile Wasser nehmet, das ist, [260] so viel, als der Raum des ganzen Körpers fassen kan; so muß dasselbe viermal so viel, als der ganze Körper wiegen. Solchergestalt verhält sich die Schwere des Körpers zu gleichviel flüßiger Materie, wie der eingetauchte Theil zu seiner ganzen Grösse.

Der 5. Zusatz.

39. Wenn ein Körper von leichterer Art, als eine flüßige Materie ist, auf dem Boden eines Gefässes lieget; so kan er nicht eher von dem Boden gehoben werden, als bis man so viel von derselben hineingegossen, daß sie über den Theil gehet, welcher sich in ihr eintauchet, wenn das Gefäß voll ist.

Die 4. Aufgabe.

40. Aus der gegebenen Schwere z. E. eines Cubicschuhes Wassers, und der Grösse des eingetauchten Theils eines Körpers, die Schwere des ganzen Körpers zu finden.

Auflösung.

Weil der Körper so viel wieget, als das Wasser, welches dem eingetauchten Theile gleich ist (§. 34.); so dürfet ihr nur sagen: wie sich verhält ein Cubicschuh Wasser zu seiner gegebenen Schwere, eben so verhält sich der eingetauchte Theil des Körpers zu der Schwere des ganzen Körpers, die ihr demnach durch die Regel Detri (§. 85. Arithm.) finden könnet.

Exempel.

Ein Cubicschuh Wasser wieget 72 Pf. Der eingetauchte Theil des Körpers ist 740’. [261]

1’ — 72 — 740’
          72  
         1480
        518  
        53280 Pf. Schwere des Körpers.
Die 5. Aufgabe.

41. Aus der gegebenen Schwere z. E. eines Cubicschuhes Wasser, und der Schwere eines Körpers, die Grösse des Teiles zu finden, um welchen er sich in dem Wasser eintauchen muß.

Auflösung.

Weil ihr sagen könnet: Wie die Schwere eines Cubicschuhes Wasser zu der Grösse eines Cubicschuhes, so verhält sich die Schwere des gegebenen Körpers zu der Grösse des Theiles, um welchen er sich eintauchen muß (§. 34.); so könnet ihr abermal die verlangte Grösse des einzutauchenden Theiles durch die Regel Detri finden (§. 85. Arithm.).

Exempel.

Es sey die Schwere des Körpers 53280 Pf.

72 — 1 — 53280 Pf.
            1     
         53280


 2
 48
53280  740’ Grösse des einzutauchenden Theiles.
 7222
  77
[262]
Anmerkung.

42. Durch diese Aufgabe kan man die Ladung eines Schiffes ausrechnen.

Die 6. Aufgabe.

43. Die Kraft zu finden, welche einen Körper in einer flüßigen Materie von schwererer Art als er ist, z. E. ein Stück Holz, unter dem Wasser erhalten kan, wenn seine Grösse und Schwere nebst der Schwere der flüßigen Materie, z. E. eines Cubicschuhes Wasser, gegeben wird.

Auflösung.

Es ist (§. 34.) klar, daß so viel Kraft erfordert wird, den Körper unter dem Wasser zu erhalten, als das Wasser mehr wieget, welches eben so viel Raum einnimmet. Derowegen

1. suchet aus der gegebenen Schwere eines Cubicschuhes Wasser und der Grösse des Körpers, durch die Regel Detri (§. 85. Arithm.) die Schwere des Wassers, welches so viel Raum als der ganze Körper einnimmet.

2. Ziehet davon die Schwere des Körpers ab; so bleibet die verlangte Kraft übrig.

Exempel.

Ein Cubicschuh Wasser wieget 72 Pfund, ein Körper, den man unter demselben erhalten soll, 100 Pfund. Seine Grösse ist 8’.

[263]

1 — 72 — 8’
     8    
   576 Pf.  Schwere des Wassers, welches dem Körper gleichet.
   100 Pf.  Schwere des Körpers.
   476 Pf.  Kraft, die den Körper unter dem Wasser erhält.
Zusatz.

44. Weil der Körper mit so grosser Gewalt in die Höhe getrieben wird, als die Kraft ist, welche ihn unter dem Wasser oder einer andern flüßigen Materie erhalten kan; so kan man durch gegenwärtige Aufgabe auch die Gewalt finden, durch welche ein Körper in einer gegebenen flüßigen Materie von einer schwereren Art, als er ist, in die Höhe getrieben wird. Als in dem vorigen Exempel ist dieselbe 476 Pf.

Der 6. Lehrsatz.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 008 006.jpg

45. Wenn ein Gefässe AB, das voll Wasser ist, bis an die Linie AC sich eintauchet; so ist die Kraft, welche das leere Gefässe bis an die Linie AC eingetauchet erhalten kan, derjenigen gleich, die das volle in der Luft erhalten kan.[Fig. 6]

Beweis.

Weil das volle Gefässe so tief eingetauchet wird, als es die Kraft niederdrücket; so muß diese der Schwere desselben gleich seyn. Die Kraft aber, welche das Gefässe in der Luft erhält, ist auch seiner Schwere gleich. [264] Derowegen muß auch die Kraft, welche das leere Gefässe bis zu der Linie AC in dem Wasser niederdrücken kan, derjenigen gleich seyn, die das volle in der Luft erhalten kan (§. 22. Arithm.). W. Z. E.

Der 7. Lehrsatz.

46. Die flüßige Materie wird um so viel schwerer, als der untergetauchte Körper von seiner Schwere in derselben verlieret; ingleichen so viel Kraft erfordert wird, den leichteren unter der flüßigen Materie zu erhalten.

Beweis.

Wenn der Körper untergetauchet ist, so wird so viel von seiner Schwere von dem Wasser getragen, als er in demselben verlieret, wie aus dem Beweise des 3 Lehrsatzes erhellet (§. 19.). Da nun dieser Theil der Schwere zugleich mit dem Wasser unter oder über ihm in einem Cylinder dem umstehenden Wasser die Wage hält; muß es auch zugleich mit dem Wasser im ganzen Gefässe auf den Boden des Gefässes drucken, und also mit ihm wiegen. Welches das erste war.

Die Kraft, welche den Körper, der von der flüßigen Materie in die Höhe gestossen wird, unter derselben erhält, drucket die flüßige Materie. Und also ist es eben so viel, als wenn ein gleichgültiges Gewichte darauf geleget würde; folgends muß die flüßige Materie um so viel schwerer werden. Welches das andere war.

[265]
Anmerkung.

47. Alles was bisher erwiesen worden, lässet sich durch die Erfahrung ohne grosse Mühe bekräftigen. Und sind die Erfahrungen als Proben anzusehen, dadurch man überführet wird, daß man durch vernünftige Schlüsse die Wahrheit richtig erfunden. Diese Proben findet man in dem ersten Theile der Versuche.

Ende der Hydrostatick.