Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften/Die Perspectiv

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Die Perspectiv
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von: Christian Wolff
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[359]
Anfangs-Gründe
der
Perspectiv.


Die 1. Erklärung.
1.

Die Perspectiv ist eine Wissenschaft, eine Sache so abzubilden, wie sie in einer gewissen Weite und Höhe in die Augen fället.

Zusatz.

2. Es ist demnach nöthig, daß die von dem Bilde zurückgeworfene Strahlen auf eben eine solche Art in das Auge fallen, als geschehen würde, wenn sie von der Sache selbst in einer gegebenen Höhe und Weite hineinfielen.

Anmerkung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 017 001.jpg

3. Es sey O das Auge, so wird der Triangel ABC gesehen durch Hülfe der Strahlen OA, OC, OB, und so lange diese Strahlen einerley Winkel in dem Auge mit einander machen, so lange erscheinet der Triangel auf einerley Art. Daher erschiene er noch wie vorhin, wenn die Strahlen Oa, Oc, Ob, von einer Tafel HI zurücke geworfen würden. Wenn ihr euch einbildet, HI sey eine durchsichtige Tafel, dadurch die Strahlen von dem Triangel ABC, doch unverändert, durchgehen, indem sie in das Auge O kommen, und sie in den Puncten a, b, c, u. s. w. wo sie durchgehen, durchlöchern; so werdet ihr ein Bild haben, welches dem Auge in O eben so erscheinen wird, als der Triangel ABC selbst. Die Perspectiv nun zeiget, wie ihr die Puncte a, b, c geometrisch finden könnet. [Fig. 1]

Die 2. Erklärung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 017 002.jpg

4. Der Augenpunct F ist derjenige, in welchen aus dem Auge O auf die Tafel HI das Perpendicul OF gezogen wird. [Fig. 2]

[360]
Die 3. Erklärung.

5. Die Linie NI, auf welcher die Tafel aufstehet, wird die Fundamentallinie oder Grundlinie genennet. [Fig. 2]

Die 4. Erklärung.

6. Die Horizontallinie ist eine gerade Linie PQ, die durch den Augenpunct F mit der Fundamentallinie NI parallel gezogen wird. [Fig. 2]

Die 5. Erklärung.

7. Der Distanzpunct ist ein Punct in der Horizontallinie P oder Q, welcher von dem Augenpuncte F so weit entfernet, als das Auge O von eben demselben. [Fig. 2]

Die 1. Aufgabe.

8. Eine jede Horizontalfäche perspectivisch zu zeichnen.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 017 003.jpg

1. Beschreibet die Fläche, z. E. ein Triangel ABC, wie in der Geomtrie gelehret worden. [Fig. 3]

2. Ziehet über derselben die Fundamentallinie DE in der Weite des Triangels von der Tafel.

3. Mit derselben ziehet die Horizontallinie HK parallel, in der Weite der Höhe des Auges.

4. Lasset aus allen Winkeln der geometrischen Fläche auf die Fundamentallinie DE Perpendicularlinien A 1, C 2, B 3 fallen.

5. Nehmet in der Horizontallinie HK den Augenpunct V an, und traget aus ihm, gegen welche Seite ihr wollet, den Distanzpunct K in der gegebenen Weite des Auges. [361] 6. Traget aus 1 in A, aus 2 in C, und aus 3 in B die Perpendicularlinien A 1, C 2, B 3.

7. Ziehet aus dem Augenpuncte V gegen 1. 2. 3. Linien, und aus dem Distanzpuncte K gegen B, A und C andere Linien.

8. Wo diese Linien einander durchschneiden, nemlich in b, a und c; da präsentiren sich die Puncte B, A und C. Wenn ihr demnach die Linien ba, ac und cb ziehet; so ist der perspectivische Riß fertig.

Anmerkung.

9. Diese Regel ist allgemein, und könnet ihr nach eurem Gefallen erwehlen, und in das Perspectiv bringen, wenn ihr euch in diesen Zeichnungen oder so genannten ichnographischen Rissen üben wollet. Den Beweis findet man in meinen Element. Perspectiv. §. 33. In besonderen Fällen kan man sich einiger Vortheile bedienen: aus welcher Absicht in noch folgende beide Aufgaben hieher setze.

Die 2. Aufgabe.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 017 004.jpg

10. Ein Quadrat ABCD ins Perspectiv zu bringen, darin ein anderes IMGH beschrieben ist. [Fig. 4]

Auflösung.

1. Nachdem ihr die Horizonatallinie LK, und die Fundamentallinie DE gezogen; so traget aus dem Augenpuncte V auf die erstere die Weite des Auges von der Tafel VL und VK.

2. Ziehet die Linien VA und VB, ingleichen die Linien KA und LB; so ist AcdB der Riß von dem Quadrate ABCD.

3. Verlängert die Seite des eingeschriebenen Quadrats HI bis an die Fundamentallinie in I, und ziehet die Linien KI und KM; so ist ihgM das eingeschriebene Quadrat.

[362]
Die 3. Aufgabe.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 005.jpg

11. Einen Circul ins Perspectiv zu bringen.

Auflösung.

1. Beschreibet auf der Fundamentallinie DE einen halben Circul AGB, und lasset nach Gefallen aus willkührlicher angenommenen Puncten der Peripherie C, F, G, H, I u. s. w. Perpendicularlinien C 1, F 2, G 3, H 4, I 5, u. s. w. darauf fallen. [Fig. 5]

2. Aus den Puncten A, 1, 2, 3, 4, 5, B ziehet gerade Linien in den Augenpunct V, imgleichen aus B die Linie LB in den Weitenpunct L, und aus A die Linie AK in den Weitenpunct K.

3. Ziehet durch die Puncte, wo sie die Linien V 1, V 2, V 3, u. s. w. durchschneiden, gerade Linien; so geben sich die Puncte i, h, g, f, u. s. w. durch welche die krumme Linie gezogen wird, welche den Circul im Perspectiv vorstellet.

Anmerkung.

12. Auf eben diese Art kann man eine jede andere krumme Linie in das Perspectiv bringen.

Die 4. Aufgabe.

13. Einen Cörper nach der Perspectiv zu zeichnen.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 017 006.jpg

1. Bringet die Grundfläche des Cörpers bacd in das Perspectiv (§. 8.). [Fig. 6]

2. Richtet auf die Fundamentallinie DE in einem beliebigen Puncte H die Höhe des Cörpers HI perpendicular auf, und ziehet in ein beliebiges [363] Punct V in der Horizontallinie HR aus H und I die geraden Linien VI und VH.

3. In den Winkeln b, a und c richtet die Perpendicularlinien bg, ah und ce auf.

4. Ziehet aus den Winkeln der Grundfläche die Linien b 1, d 2 mit der Fundamentallinie DE parallel.

4. Richtet in 1, 2 die Perpendicularlinien 1 L, 2 M darauf auf.

6. Machet endlich af = HI, bg = ce = 1L und dh = 2M;; so könnet ihr die obere Fläche ghef ziehen.

Anmerkung.

14. Den Beweis findet man in meinen Element Perspect. §. 35. Es wird aber dienlich seyn, wenn ich diese allgemeine Regel durch einige besondere Fälle erläutere.

Die 5. Aufgabe.

15. Eine abgekürzete Pyramide ins Perspectiv zu bringen.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 007.jpg

1. Wenn man von allen Winkeln der oberen Grundfläche auf die untere Perpendicularlinien zöge; so würde man in unserem Falle ein Fünfecke innerhalb der unteren Grundfläche erhalten, dessen Seiten ihren Seiten parallel sind. Derowegen bringet dieses doppelte Fünfecke lmnop und abcde ins Perspectiv (§. 8.). [Fig. 7]

2. Richtet in H die Höhe der abgekürzten Pyramide HI auf, und ziehet aus dem Puncte V die Linien HV und VI, und determiniret (§. 13.), wie die Figur ausweiset, die Höhen, [364] welche man auf die inneren Winkel abcde aufrichten muß.

3. Die oberen Puncte fghik ziehet mit geraden Linien zusammen, und

4. endlich ziehet die Linien lk, fm, gn; so ist geschehen, was man verlangete.

Zusatz.

16. Wenn man zwey Circul, die aus einem Mittelpuncte beschrieben werden, ins Perspectiv bringet (§. 11.); so wird durch die gegenwärtige Aufgabe ein abgekürzeter Kegel ins Perspectiv gebracht.

Die 6. Aufgabe.

17. Wände und Pfeiler ins Perspectiv zu bringen.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 021 008.jpg

1. Bringet den Boden AFH3 ins Perspectiv, zugleich mit den Grundflächen der Säulen und Pfeiler, wenn einige vorhanden (§. 8. 11.). [Fig. 8]

2. Auf die Fundamentallinie A3 traget die Dicke der Mauer AB und 3. 1.

3. In A und B, imgleichen in 3 und 1, richtet Perpendicularlinien AD und BC, imgleichen 3. 6. und 1. 7. auf (§. 70. 89. Geom.).

4. Aus D und 6 ziehet Linien VD und V 6 gegen den Augenpunct V.

5. Auf FH richtet FE und HG perpendicular auf; so habet ihr die Wände ADEF, FEGH und HG 6. 3. nebst der Decke DEG6.

6. Wenn Pfeiler oder Säulen auf dem Boden AFH3 zu stehen kommen; so müsset ihr aus ihren [365] perspectivischen Grundflächen Perpendicularlinien aufrichten, auf AD die wahre Höhe tragen, und aus ihrem obersten Puncte D die Linie DV ziehen, so geben sich, wie in der vorhergehenden Aufgabe, die wahren Höhen.

Anmerkung.

18. Der geometrische Grund mit dem Grunde der Pfeiler und Säulen wird nach den Regeln der Baukunst gezeichnet.

Die 7. Aufgabe.

19. Eine Thüre ins Perspectiv zu bringen.

Auflösung.

I. Wenn eine Thüre in die Wand ADEF zu zeichnen ist; so [Fig. 8]

1. traget aus A in N ihre Weite von der Ecke, aus N in I und L in M die Breite der Pfosten, aus I in L die Breite der Thüre.

2. In dem Punct der Entfernung des Auges K ziehet die Linien NK, IK, LK, MK; so bekommet ihr im Perspective die Breite der Thüre il und der Pfosten in und lm.

3. Aus A in O traget die Höhe der Thüre AO; und aus A in P die Höhe der Pfosten, oder aus O in P die Breite der Oberschwelle.

4. Ziehet in den Augenpunct V die Linien PV und OV.

5. Richtet in n, i, l und m Perpendicularlinien auf, die an PV und OV anstossen; so giebet sich die Thüre.

6. Die Dicke der Mauer bey I wird durch die Dicke der Mauer AB gefunden, wenn ihr aus B in dem Augenpuncte V eine gerade Linie ziehet.

[366] II. Wenn man die Thüre an der Wand FEGH zeichnen soll; so

1. traget aus A in R ihre Weite von der Wand zur Seiten, und aud R in T ihre Breite.

2. Aus R und T ziehet in dem Augenpunct V die Linien RV und TV; so habet ihr ihre Breite im Perspective rr.

3. In r und t richtet Perpendicularlinien auf FH auf.

4. Aus A in P traget wie vorhin die wahre Höhe der Thüre AP.

5. Ziehet aus P in V die Linie PV; so ist Fz die perspectivische Höhe.

6. Machet rr und tt = Fz; so giebet sich die Thüre tt rr.

Die 8. Aufgabe.

20. Fenster ins Perspectiv zu bringen.

Auflösung.

1. Traget aus 1 in 2 die Dicke der Mauer vor dem Fenster, aus 3 in 4 seine Weite von der Ecke, und aus 4 in 5 seine Breite. [Fig. 8]

2. Aus 4 und 5 ziehet in dem Punct der Weite des Auges L die Linie L 5 und L 4; so bekommet ihr die Breite im Perspective 9. 10.

3. Aus 9 und 10 richtet auf dem Boden die Perpendicularlinien auf, das ist, ziehet Linien mit 3. 6. parallel.

4. Aus 3 in 11 traget die Weite des Fensters von dem Boden 3. 11, und aus 11 in 12. seine Höhe 11. 12. [367] 5. Endlich ziehet in dem Augenpunct V aus 11 und 12 gerade Linien; so giebet sich das Fenster 15. 13. 14. 16.

6. Die Dicke der Mauer vor dem Fenster könnet ihr wie in der vorigen Aufgabe finden.

Die 9. Aufgabe.

21. Eine aufgemachte Thür ins Perspectiv zu bringen.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 009.jpg

Weil die Thüren, wenn sie aufgemacht werden, einen halben Circul beschreiben; so [Fig. 9]

1. beschreibet zuerst die Thüre im Lichten (§. 19.).

2. Darnach bringet einen halben Circul ecd ins Perspectiv, dessen Mittelpunct in a ist, der halbe Diameter aber die Breite der Thüre ad (§. 11.).

3. Merket darinnen den Punct c, wo die Thüre stehet, und ziehet die Linie fc gegen die Fundamentallinie perpendicular.

4. Durch c und a ziehet die Linie ca, welche die Horizontallinie VO in O durchschneidet.

5. Endlich aus O durch b ziehet die Linie bf; so ist die offenstehende Thüre bfca gezeichnet.

Anmerkung.

22. Auf eben solche Art werden die offenen Fenster gezeichnet. Auch ist nicht nöthig, daß der ganze halbe Circul ins Perspectiv gebracht wird; sondern man darf nur den Punct c durch die allgemeine Regel, wie es die erste Aufgabe (§. 8.) an die Hand giebet, determinieren.

Die 10. Aufgabe.

23. Den Schatten eines Cörpers im Perspectiv [368] zu zeichnen, wenn das Licht mit Strahlen, die aus einander fahren, sich ausbreitet, wie bey einer Lampe, einer Fackel, einem Wachslichte u. s. w. geschiehet.

Aufösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 011.jpg

1. Suchet den Punct M im perspectivischen Risse, wo die Linie hinfället, die aus dem Mittelpuncte des Lichtes L auf den Boden, da der Cörper stehet, perpendicular gezogen wird (§. 8.). [Fig. 11]

2. Von allen obern Ecken des Cörpers lasset gleichfalls Perpendicularlinien auf den Boden fallen: welches in unserem Falle nicht nöthig ist, weil die Linien AD, BE, CF die verlangten Linien sind.

3. Durch das unterste Ende dieser Perpendicularlinien F, E, D ziehet aus M gerade Linien MG, MH, durch die oberen aber A, C, B, aus L andere LG, LH, welche die vorigen in G und H durchschneiden, und den Schatten DEHG enden.

Die 11. Aufgabe.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 017 012.jpg

24. Den Schatten eines Cörpers zu zeichnen, der an eine Wand RQ oder einen anderen Cörper fället.

Auflösung.

1. Suchet erstlich den Schatten BCM wie in der vorhergehenden Aufgabe (§. 23.). [Fig. 12]

2. Im Puncte T, wo die Linie NM, die durch N und den Punct E, darauf die Perpendicularlinie aus der Spitze des Cörpers fället, [369] die Wand RQ durchschneidet, richtet die Linie TO auf den Boden, darauf der Körper ACB stehet, perpendicular auf; so habet ihr die Höhe des an die Wand geworfenen Schattens. Die Breite giebet sich unten von selbsten.

Die 12. Aufgabe.

25. Aus der gegebenen Höhe der Sonne den Schatten eines Körpers im Perspectiv zu finden, wenn die Strahlen auf dem Boden, darauf der Körper stehet, parallel sind.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 013.jpg

1. Durch alle untere Ecken des Körpers E, H, G, F, und ziehet Linien HL, EGK, FI mit der Fundamentallinie parallel. [Fig. 13]

2. Durch die obern Ecken A, B, D ziehet gerade Linien BL, AK, DI, welche mit den Perpendicularlinien BH, AG, DF einen Winkel machen, so der Weite der Sonne von dem Scheitel gleich ist, und die vorigen in L, K und I durchschneiden; so giebet sich der Schatten FIKL.

Die 13. Aufgabe.

26. Aus der gegebenen Weite der Sonne hinter der Tafel von der Verticalfläche, und ihrer Höhe über dem Boden, darauf der Körper stehet, den Schatten desselben zu finden.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 021 014.jpg

1. In dem Augenpuncte V richtet die Linie VA auf die Horizontallinie HR perpendicular auf, [370] und machet sie der Weite des Auges VL gleich. [Fig. 14]

2. Machet in A einen Winkel VAB, welcher der Weite der Sonne von der Verticalfläche gleich ist.

3. In B richtet die Linie BD perpendicular auf, machet BC = BA und den Winkel DCB der gegebenen Sonnenhöhe gleich.

4. Wenn ihr nun den Schatten von IH finden wollet; so ziehet durch I aus B die Linie BK und durch H aus D die Linie DK; so ist IK der verlangte Schatten.

Anmerkung.

27. Die Verticalfläche nennet man diejenige, welche auf dem Boden oder dem Grunde im Perspective perpendicular stehet.

Die 14. Aufgabe.

28. Aus der gegebenen Weite der Sonne vor der Tafel von der Verticalfläche, und ihrer Höhe über dem Boden, darauf der Körper stehet, den Schatten desselben zu finden.

Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 021 015.jpg

1. Richtet in dem Augenpuncte V auf die Horizontallinie HR die Linie VA perpendicular auf, und machet sie der Weite des Auges gleich. [Fig. 15]

2. Machet in A einen Winkel VAB, welcher der Weite der Sonne von der Verticalfläche gleich ist.

3. In B richtet die Perpendicularlinie BD auf, machet BC = BA, und den Winkel BCD der gegebenen Sonnenhöhe gleich; so könnet ihr [371] wie in der vorigen Aufgabe durch Hülfe der Puncte B und D den Schatten des Körpers finden.

Anfangsgründe der Mathematik II b A 021 010.jpg
Die 15. Aufgabe.

29. Den Schatten eines Körpers zu zeichnen, den er wegen des durch ein Fenster einfallenden Lichtes wirfet.

Auflösung.

1. Aus dem Mittel des Fensters E lasset die Linie EF perpendicular herunter auf den Boden fallen, imgleichen aus den Ecken A und B die Linien AC und BG. [Fig. 10]

2. Verlängert EF bis in D, damit ihr die Höhe des Fensters ED bekommet; so sind C, F und G die Puncte, daraus die Linien des Schattens durch die untere Puncte der Perpendicularlinien gezogen werden; hingegen E und D die Puncte, daraus die Linien durch die obern Ecken beschrieben werden.

Nemlich die drey Puncte C, F und G sind hier so viel, wie oben (§. 23.) [Fig. 11] der Punct M, und die beiden E und D, wie daselbst der Mittelpunct des Lichtes L.

Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 011.jpg
Anmerkung.

30. Von allem, was bisher gelehret worden, findet man gründlichen Beweis in meinen Elementis Perspectivae.

Die 16. Aufgabe.

31. Eine jede Sache genau abzuzeichnen.

[372]
Auflösung.
Anfangsgründe der Mathematik II b A 019 016.jpg

1. Machet aus vier Leisten einen viereckichten Rahmen DE, und theilet den Raum darzwischen durch Faden in lauter gleiche kleine Quadrate ein. [Fig. 16]

2. Befestiget den Rahmen mit dem Netze rechtwinkelicht an einer Tafel G und innerhalb einem Loche F die Scheibe H, darinnen mitten ein kleines Löchlein ist.

3. Theilet das Papier, darauf die Sache abgezeichnet werden soll, in eben so viel und so grosse Quadrate, als das Netz eingetheilet worden.

4. Stellet das Netz vor die Sache, die ihr abzeichnen sollet, und sehet darnach durch das Löchlein in H.

5. Zeichnet jedes in sein Quadrat auf dem Papiere, wo ihr es in dem Netze DE erblicket.

Wer nun im Zeichnen geübet ist, wird solchergestalt die Sache sehr wohl treffen.


Ende der Perspectiv.