Das Relativitätsprinzip (Ignatowski)

Das Relativitätsprinzip

Von W. v. Ignatowsky in Berlin.^[1]

Das Relativitätsprinzip, welches von A. Einstein^[2] aufgestellt wurde, hat eine solche eingreifende Bedeutung erhalten, wie vom physikalischen, so auch vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aus, daß es nicht unnütz erscheint, die Grundlagen desselben noch einmal zu revidieren und möglichst streng diejenigen Konsequenzen zu verfolgen, welche dieses Prinzip ergibt: erstens um sich eine klare Vorstellung von diesem Prinzip zu verschaffen, denn diesbezüglich herrscht noch viel Willkür, und zweitens, um eine Richtschnur zu haben, auf Grund deren man Gewißheit erlangen kann, das Prinzip nicht unterschätzt, aber auch nicht überschätzt zu haben.

Allein auf Grund des Relativitätsprinzips kann man beweisen, daß es eine universelle Raumkonstante geben muß, im Gegensatz zu A. Einstein, welcher von vornherein, parallel mit dem Relativitätsprinzip, die Lichtgeschwindigkeit als universelle Konstante annimmt. Wir werden bei dem Existenzbeweis obiger Konstante überhaupt nicht von der Lichtgeschwindigkeit sprechen und die Existenz dieser Konstante ganz allgemein und nicht auf Grund irgend einer speziellen physikalischen Erscheinung ableiten. Nachträglich werden einige allgemeine Folgerungen gezogen und an Beispielen erläutert und die Anwendung des Relativitätsprinzips auf einige Gebiete der theoretischen Physik gezeigt.

1. Einleitende Bemerkungen. Um über ein physikalisches Ereignis urteilen oder darüber eine Theorie bilden zu können, müssen wir uns ihm objektiv gegenüber stellen, sozusagen, es von der Vogelperspektive aus betrachten. Was tun wir aber gewöhnlich dabei? Wir betrachten nur den Raum, in welchem sich das betreffende physikalische Ereignis abspielt, objektiv und nehmen die Zeit mit uns, indem wir diese als zu uns gehörig betrachten. Haben wir ein Recht dazu? Müssen wir nicht die Zeit als zu demjenigen Raum gehörig annehmen, wo das Ereignis stattfindet, d. h. müssen wir uns bei einer objektiven Betrachtung nicht nur außerhalb des betreffenden Raumes, sondern auch der Zeit stellen? Denn die Zeit ist mit jeder physikalischen Erscheinung untrennbar verknüpft^[3], und wenn wir diese objektiv betrachten wollen, so dürfen wir die Zeit nicht isoliert behandeln, sondern sie als zu der Erscheinung gehörig rechnen und müssen deshalb, bei objektiver Betrachtung der letzteren, uns auch außerhalb der betreffenden Zeit stellen.

Dieses angenommen, wollen wir uns folgendes Bild machen. Wir stellen uns vor, daß es außer unserer Welt noch andere gibt, die sich, von uns aus beurteilt, mit konstanter translatorischer Geschwindigkeit im Raume bewegen. Wir selbst nehmen zu einer jeden dieser Welten einen objektiven Standpunkt ein und müssen deshalb, infolge obiger Erörterungen, annehmen, daß jede dieser Welten nicht nur ihren besonderen Raum beansprucht, sondern auch ihre eigene Zeit besitzt. Dasselbe muß sich auch ein Beobachter auf irgend einer der Welten in bezug auf die übrigen sagen.

Um uns über den Gang der physikalischen Erscheinungen in den verschiedenen Welten eine Vorstellung zu machen, befragen wir alle entsprechenden Beobachter, z. B. nach welchem mathematischen Gesetz bei ihnen die elektromagnetischen Erscheinungen im sogenannten Vakuum verlaufen. Und siehe da, als Antwort erhalten wir von allen Beobachtern eine gleichlautende Formel und zwar die Maxwellschen Gleichungen d. h. dieselben, nach denen wir selbst diese Erscheinungen beobachten. Was schließen wir daraus? Wir schließen, daß in bezug auf diese Erscheinung alle unsere Welten gleichberechtigt sind und keine vor der anderen einen Vorzug hat. Verallgemeinern wir diese Betrachtungen auf alle Erscheinungen, so kommen wir zu dem Schluß, daß alle obigen Welten in allen Beziehungen einander gleichwertig sind. Insbesondere kann jede von ihnen sich als ruhend betrachten und die anderen als beweglich, relativ zu ihr. Wir kommen also zu dem Ergebnis, daß es uns unmöglich ist, eine absolute Bewegung nachzuweisen^[4], und daß wir nur relative Bewegungen beobachten können, und gelangen so zu der allgemeinen Fassung des Relativitätsprinzips: „Durch kein Experiment, welches wir auf einer der Welten ausführen, können wir die absolute Bewegung derselben feststellen, sondern nur die relative in bezug auf die anderen Welten. Wir müssen also die betreffende Welt als ruhend betrachten. Alle Welten sind untereinander gleichwertig“. Daraus folgt umgekehrt, daß auf allen obigen Welten alle physikalischen Erscheinungen nach denselben Gesetzen verlaufen müssen. Denn wäre dies nicht der Fall, würde z. B. irgend eine physikalische Erscheinung auf einer der Welten nach einem besonderen Gesetz verlaufen, so würde diese Welt eine Sonderstellung einnehmen, was dem Relativitätsprinzip widerspricht.

Worin liegt aber denn eigentlich die Bedeutung dieses Prinzipes? Diese tritt aus folgender Überlegung hervor. Die obigen Welten, die wir nur zur klareren Darstellung herangezogen haben, brauchen tatsächlich garnicht zu existieren. Es genügt schon vollkommen, daß wir selbst durch kein Experiment unsere Translationsbewegung feststellen können. Und dies ist wirklich der Fall. Nun lassen sich, wie wir weiter sehen werden, auf Grund des Relativitätsprinzips die Beziehungen ableiten, die zwischen den Koordinaten und der Zeit unserer Welt und den Koordinaten und der Zeit einer anderen (ob gedachten oder wirklichen, ist einerlei) Welt oder Bezugssystems, das sich uns gegenüber in einer konstanten translatorischen Bewegumg befindet, bestehen. Sind diese Beziehungen einmal festgelegt, so können wir ein beliebiges physikalisches Gesetz in ein solches, welches jenem anderen Bezugssystem entspricht, transformieren. Bei dieser Tranformation erhalten wir einen neuen mathematischen Ausdruck für das Gesetz, aber wegen des Relativitätsprinzips muß seine Form erhalten bleiben. Wird dies nicht der Fall sein, so müssen wir hieraus schließen, daß das Gesetz selbst falsch ist. Das Gesetz muß eben eine solche Form haben, daß es diese bei der obigen Transformation nicht ändert. Das Relativitätsprnzip‚ solange wir seine Gültigkeit anerkennen, dient für uns, so zu sagen, als Kontrollinstanz bei der Aufstellung der mathematischen Form eines physikalischen Gesetzes. Zugleich muß aber hinzugefügt werden, was eigentlich infolge der obigen Erörterungen als selbstverständlich erscheint, daß das Relativitätsprinzip nicht im stande ist, uns irgend ein neues Gesetz aufzudecken. Dies kann einzig und allein das Experiment leisten. Denn angenommen, eine und dieselbe physikalische Erscheinung würde genügend genau durch zwei verschiedene mathematische Ausdrücke, die beide dem Relativitätsprinzip genügen, d. h. bei der Transformation von der einen Welt auf die andere ihre Form beibehalten, dargestellt werden können, dann kann das Relativitätsprinzip nicht entscheiden, welches Gesetz das richtige ist. Nur durch das Experiment, nur durch verfeinerte Meßmethoden können wir zum richtigen Gesetz gelangen. Das Relativitätsprinzip nimmt in der Physik genau dieselbe Stellung ein wie eine Lehre in der Maschinenfabrik, denn diese kann nur anzeigen, ob der betreffende Maschinenteil richtig ausgeführt worden ist, sagt aber nichts über seine Herstellung aus. Alle Maschinenteile müssen in die Lehre passen und alle physikalischen Gesetze dem Relativitätsprinzip genügen.

2. Uhren. Maßstäbe. Beziehung zwischen Zeit und Länge. Wir wollen jetzt auf die Zeitmessung näher eingehen. Die Zeit bestimmen wir mit Hilfe von Uhren, von denen wir verschiedene haben müssen, die alle synchron laufen, an verschiedenen Stellen unseres Bezugssystems aufgestellt sind und in bezug auf uns alle ruhen. Denn hätten wir keine solche synchron laufenden und ruhenden Uhren, so wäre eine Zeitmessung überhaupt illusorisch. Durch was stellen wir den Synchronismus fest? Ganz einfach, durch ein beliebiges physikalisches Verfahren, sei es ein mechanisches oder optisches. Denn ergibt uns eine physikalische Messung, daß zwei in bezug auf uns ruhende Uhren synchron laufen, so laufen sie auch tatsächlich synchron. Hierdurch ist der Synchronismus eindeutig bestimmt, denn er läßt sich ständig durch das Experiment kontrollieren.

Wir gehen jetzt zu einer Längenmessung über. Zu dem Zweck bedienen wir uns eines Maßstabes, z. B. eines Meterstabes, und wollen jetzt einen gegebenen Stab damit vergleichen. Wir setzen voraus, daß der Meterstab in bezug auf uns ruht und bringen den zu messenden Stab an das Meter. Dann wird der Anfang und das Ende des Meters mit zwei Stellen des zu messenden Stabes zusammenfallen. Wir schneiden an diesen Stellen den Stab ab und haben dadurch eine Kopie unseres Meters erhalten, die sich der Länge nach von dem primären Meter nicht unterscheidet. Dabei haben wir aber folgendes beobachtet. Alle vier Punkte, d. h. der Anfang und das Ende des Meters und desgleichen des Stabes, ruhten während der Messung in bezug auf uns. Hätten wir folglich in diese vier Punkte vier synchron laufende Uhren gebracht, so würden sie fortfahren, synchron zu laufen. Mit anderen Worten, die Messung ist so ausgeführt worden, daß die betreffenden Punkte des Stabes mit denjenigen des Meters zu gleicher Zeit verglichen wurden. Diese Art der Messung ist auch die einzige, aus welcher wir über die Gleichheit zweier Längen schließen können.

Wir wollen jetzt von den Bezugssystemen eins herausgreifen und dieses, zum Unterschiede von dem unsrigen, als gestrichenes bezeichnen (d. h. alle ihr zukommenden Größen mit Strichen versehen). Wir übergeben dem gestrichenen Beobachter die von uns angefertigte Kopie des Meters und verabreden mit ihm, er soll diese auch als Einheit benützen. Diese Kopie wird für uns jetzt als gestrichenes Meter erscheinen, und genau dasselbe in bezug auf unser Meter gilt für den gestrichenen Beobachter. Jeder Stab ist für jeden Beobachter ein Meter lang.

Fig. 1

Der gestrichene Beobachter bewege sich mit einer, von uns aus gemessen, konstanten Geschwindigkeit in der Richtung von $A$ nach $B$ (Fig. 1), und zugleich sei $AB$ unser Meter. Wir stellen in $A$ eine Uhr auf und beobachten den Zeitpunkt $t_{0}$, wo der Anfang $B'$ des gestrichenen Meters an $A$ vorbeikommt. Desgleichen merken wir uns den Zeitpunkt $t_{1}$, in welchem der Punkt $B'$ an $B$ vorbeigeht und erhalten eine Zeitdifferenz $t_{1}-t_{0}$. Dieselbe Art der Messung kann aber auch der gestrichene Beobachter mit seinem Meter und seiner Uhr machen und erhält eine entsprechende Zeitdifferenz $t'_{1}-t'_{0}$. Da aber für jeden Beobachter der Maßstab ein Meter lang ist, jeder Beobachter als ruhend angesehen werden kann und keiner vor dem anderen einen Vorzug hat, so folgen als unmittelbare Konsequenz die Beziehungen:

(1)	$t_{1}-t_{0}=t'_{1}-t'_{0}$

(2)	${\frac {A'B'}{t'_{1}-t'_{0}}}={\frac {AB}{t{}_{1}-t{}_{0}}}$

D. h. bezeichnen wir durch $q$ die relative Geschwindigkeit des gestrichenen Beobachters, von uns aus gemessen, und durch $q'$ unsere Geschwindigkeit, vom gestrichenen Beobachter aus gemessen, so muß wegen (2), und da beide Geschwindigkeiten entgegengesetzt gerichtet sind, sein

(3)	$q=-q'={\frac {AB}{t{}_{1}-t{}_{0}}}={\frac {1}{t{}_{1}-t{}_{0}}}\mathrm {\frac {m}{sec}} ={\frac {100}{t{}_{1}-t{}_{0}}}\mathrm {\frac {cm}{sec}}$

Wir wollen jetzt aber die Länge des gestrichenen Meters tatsächlich von uns aus messen. Zu dem Zweck verfahren wir genau so wie bei der Herstellung unserer Kopie. D. h. wir müssen zwei für uns ruhende und synchron laufende Uhren in einer solchen Entfernung $AB_{1}$, voneinander aufstellen, daß beim Vorbeigehen von $A'B'$ der Punkt $A'$ mit dem Punkt $A$ und $B'$ mit $B_{1}$, für uns zu gleicher Zeit zusammenfallen.^[5] Wie wir weiter (Nr. 6) sehen werden, ist dann $AB_{1}<AB$ und uns wird es scheinen, als ob das gestrichene Meter sich verkürzt hat. Daraus dürfen wir aber nicht schließen, daß hier eine tatsächliche Verkürzung vorliegt, denn dasselbe könnte ja auch der gestrichene Beobachter von unserem Meter behaupten, und da haben wir keine Verkürzung beobachtet. Daß wir aber dennoch eine solche scheinbare Verkürzung des bewegten Meters messen, folgt daraus, daß wegen (2) die Länge mit der Zeit verknüpft ist, was eine Folge des Relativitätsprinzips ist, und daß wir die Messung bei gleichzeitigem Stand der Uhren in A und B, ausführten. Eine solche Messung wollen Wir zur Abkürzung eine synchrone nennen. Aus dem Obigen ersehen wir, daß die richtige Länge eines Gegenstandes mit Hilfe einer synchronen Messung bei ruhendem Gegenstand gefunden werden kann. Bewegt sich der betreffende Gegenstand mit einer konstanten Geschwindigkeit, so ergibt eine synchrone Messung eine scheinbar verkürzte Länge des Gegenstandes.

3. Aufstellung der Transformationsgleichungen. Aus dem Relativitätsprinzip folgt, falls $E$ irgend eine physikalische Größe bedeutet und durch eine Funktion $\varphi$ irgend welcher Parameter $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ dargestellt werden kann, also falls

(1)	$E=\varphi \left(a_{1},a_{2},a_{3}\dots \right)$

gilt, daß für den gestrichenen Beobachter dieselbe Funktion $\varphi$ maßgebend ist, nur daß an Stelle von $E$ jetzt$E'$ tritt und an Stelle der Parameter die gestrichenen Werte. D. h. für den gestrichenen Beobachter muß sein

(2)	$E'=\varphi \left(a'_{1},a'_{2},a'_{3}\dots \right)$

Angenommen wir hätten $E'$ durch die ungestrichenen Parameter ausgedrückt z. B.

(3)	$E'=f\left(a_{1},a_{2},a_{3}\dots \right)$

dann muß, da das gestrichene und das ungestrichene System vollständig gleichwertig sind, auch gelten

(4)	$E=f\left(a'_{1},a'_{2},a'_{3}\dots \right)$

Die Gleichungen (1)—(4) bilden die mathematische Formulierung des Relativitätsprinzips. Da im allgemeinen $a$ nicht gleich $a'$ ist, so ersehen wir aus (1) — (4), daß tatsächlich $x,y,z,t$ nicht gleich $x',y',z',t'$ zu sein brauchen, da doch diese Größen auch zu den Parametern, die eine physikalische Größe bestimmen, gerechnet werden müssen. Betrachten wir nun rein kinematische Erscheinungen, so müssen wir eine Gleichung z. B. von der Form annehmen

(5)	$x'=\varphi (x,y,z,t,q)$

wo $q$ die in der vorigen Nr. definierte Geschwindigkeit bedeutet und eine konstante Größe ist.

Wir bezeichnen durch ${\mathfrak {c}}_{0}$ den Einheitsvektor in der Richtung der Bewegung des gestrichenen Beobachters, vom ungestrichenen Beobachter aus beurteilt. In dieselbe Richtung legen wir die positive Richtung der $X$-Achse und der $X'$-Achse. Deshalb auch das negative Zeichen in (3) Nr. 2. Zur Vereinfachung nehmen wir außerdem noch an, daß die Verlängerung der $X$-Achse mit der $X'$-Achse zusammenfällt.

     Den Raum müssen wir als homogen und isotrop auffassen. Deshalb hat in bezug auf ihn die $Y$-Achse vor der $Z$-Achse keinen Vorzug, also können $y$ und $z$ in (5) nur implizite durch $\varrho$ auftreten, wo $\varrho$ die Entfernung eines Raumpunktes von der $X$-Achse bedeutet. Demnach hätten wir als Transformationsgleichungen folgende Beziehungen:

(6)	$x'=f(x,\varrho ,t,q),\ \varrho '=\varphi (x,\varrho ,t,q),\ t'=\psi (x,\varrho ,t,q),$

und wegen (3) und (4) folgt hieraus

(7)	$x=f(x',\varrho ',t',q'),\ \varrho =\varphi (x',\varrho ',t',q'),\ t=\psi (x',\varrho ',t',q'),$

     Wir nehmen jetzt das vollständige Differential der Gleichungen (6) und erhalten

(8)	$\left\{{\begin{aligned}dx'=&pdx+md\varrho +sdt\\d\varrho '=&kdx+ld\varrho +udt\\dt'=&p_{1}dx+m_{1}d\varrho +s_{1}dt,\end{aligned}}\right.$

wo $p,m,s$ usw. die entsprechenden partiellen Differentialquotienten bedeuten und selbst Funktionen von $x,\varrho ,t$ und $q$ sein können.

     Wir fassen jetzt einen beweglichen Punkt ins Auge, der sich mit einer beliebigen Geschwindigkeit $v$ längs der $X$-Achse bewegt, und nehmen für $dx$ in (8) den Wert an, welchen der betrachtete Punkt in der Zeit $dt$ durchläuft. Es ist dann $dx=vdt$ und $d\varrho =0$. Dann muß aber auch $d\varrho '=0$ sein. Wir erhalten deshalb aus der zweiten Gleichung (8) $kv+u=0$.

     Da aber $k$ und $u$ nicht von der Bewegung unseres willkürlich gewählten Punktes abhängen können und da außerdem $v$ beliebig ist, so folgt

(9)

$k=u=0$

und wir erhalten allgemein $d\varrho '=ld\varrho$.

     Aber aus (3) und (4) ergibt sich $d\varrho =l'd\varrho '$ d. h.

(10)

$l'l=1$

     Da der Übergang vom ungestrichenen System zum gestrichenen und umgekehrt vollständig gleichwertig ist, so muß $l=l'$ sein und wegen (10) $l=l'=1$. Dies ergibt

(11)	$d\varrho '=d\varrho$

oder, da wir angenommen haben, daß die $X'$-Achse die Verlängerung der $X$-Achse ist,

(11a)

$\varrho '=\varrho$

und wir erhalten folglich statt (6)

(12)	$x'=f(x,\varrho ,t,q),\ \varrho '=\varrho ,\ t'=\psi (x,\varrho ,t,q).$

     Die Gleichungen (12) geben uns an, wie man von den Koordinaten und der Zeit des gestrichenen Systems zu den betreffenden Größen des ungestrichenen Systems übergehen kann und umgekehrt. Diese Beziehungen sind eine Eigenschaft ausschließlich der gegenseitigen Bewegung der betreffenden Systeme und vollständig unabhängig von irgend einer Erscheinung. Da aber $\varrho '=\varrho$ ist, so müssen wir schließen, daß $x'$, resp. $t'$ nicht von $\varrho$ abhängen können. Es muß also

(13)	$m_{1}=m=0$

sein, und wir erhalten endgültig

(14)	$x'=f(x,t,q),\ \varrho '=\varrho ,\ t'=\psi (x,t,q)$

(15)	$x=f(x',t',q'),\ \varrho =\varrho ',\ t=\psi (x',t',q')$

und

(16)	$dx'=pdx+sdt,\ dt'=p_{1}dx+s_{1}dt$

(17)	$dx=p'dx'+s'dt',\ dt=p'_{1}dx'+s'_{1}dt'.$

     Wir nehmen auf der $X'$-Achse ein Element $dx'$ und auf der $X$-Achse ein Element $dx$ an, von solcher Länge, daß falls $dx'$ in bezug auf das ungestrichene System ruhte, $dx'=dx$ wäre. Führen wir jetzt eine synchrone Messung des Elementes $dx'$ vom ungestrichenen System aus, im Sinne von Nr. 2, so ist dabei $dt=0$, und aus (16) ergibt sich dann

(18)	$dx'=pdx.$

     Würde jetzt umgekehrt $dx$ in bezug auf das gestrichene System in Ruhe gebracht, so würde sich $dx'=dx$ ergeben. Führen wir jetzt eine synchrone Messung des Elementes $dx$ von dem ungestrichenen System aus, so folgt aus (17), da hier $dt'=0$ ist,

(19)	$dx=p'dx'.$

     Da (18) für $t$ = const. und (19) für $t'$ = const. gilt, so können wir aus diesen beiden Gleichungen nicht schließen, daß $pp'=1$ ist, können aber dafür folgendes Resultat ableiten. Die Elemente $dx'$ und das, in beiden Fällen gegenseitig zur Ruhe gebracht, ergeben $dx'=dx$. Da aber beide Systeme gleichberechtigt sind, so muß für beide Beobachter die gemessene Verkürzung gleich sein. D. h. es ist

(20)

$p=p'.$

     Bezeichnen wir durch $D$ die Determinante

(21)	$D={\begin{array}{|cc|}p&p_{1}\\s&s_{1}\end{array}}=ps_{1}-p_{1}s,$

so folgt in leichter Weise aus (16) und (17)

(22)	$p'={\frac {s_{1}}{D}};\ s'=-{\frac {s}{D}};\ p'_{1}=-{\frac {p_{1}}{D}};\ s'_{1}={\frac {p}{D}}$

und weiter aus (20)

(23)	$p^{2}=s_{1}s'_{1}.$

     Es bleibt uns daher nur noch übrig, die Größen $p,p_{1}$ und $s$ zu bestimmen. Bevor wir aber hierzu übergehen, müssen wir die Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {v}}'$ eines beliebig bewegten Punktes aufstellen.

     4. Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten ${\mathfrak {v}}$ und ${\mathfrak {v}}'$. Die $X$- resp. die $X'$-Komponente der Geschwindigkeit ${\mathfrak {v}}$ resp. ${\mathfrak {v}}'$ ist augenscheinlich

(1)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}={\frac {dx}{dt}}$

und

(2)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'={\frac {dx'}{dt'}}.$

     Hieraus und aus (16) Nr. 3 erhalten wir

(3)	$dx'=dt\left(p{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}+s\right),$

(4)	$dt'=Adt,$

wo

(5)	$A=s_{1}+p_{1}{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}$

bedeutet. Demnach ist

(6)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'={\frac {s+p{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}}{A}}$

und entsprechend

(7)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}={\frac {s'+p{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'}{A'}},$

wo

(8)	$A'=s'_{1}+p'_{1}{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'$

ist. Aus (5), (6), (8) und aus (21), (22) Nr. 3 ergibt sich

(9)

$AA'=1.$

     Mit Hilfe von (9) und (21) Nr. 3 kann man sich leicht von der Richtigkeit von (7) überzeugen.

Fig. 2

     Es bedeute $O$ in Fig. 2 den Anfangspunkt des ungestrichenen Koordinatensystems und $O'$ denjenigen des gestrichenen. $P$ ist der bewegliche Punkt, gesehen vom ungestrichenen Beobachter, und $P'$ bedeutet dasselbe für den gestrichenen Beobachter. Für den ungestrichenen Beobachter ist $OP={\mathfrak {r}}$ der Radiusvektor von seinem Koordinatenanfang bis zu dem beweglichen Punkt und für den gestrichenen Beobachter wird dies $O'P'={\mathfrak {r}}'$ sein. $OB=x$ und $O'B'=x'$. Obwohl $P$ und $P'$ ein und denselben Punkt darstellen, durften wir sie nicht als zusammenfallend zeichnen, sondern so wie in der Fig. 2, weil die Welt des ungestrichenen Beobachters etwas Unabhängiges in bezug auf die Welt des gestrichenen Beobachters ist. Wir wissen nur, daß die Verlängerung der $X$-Achse mit der $X'$-Achse zusammenfällt, und daß ${\mathfrak {r}}_{1}={\mathfrak {r}}'_{1}$ ist. Das letztere ergibt, daß die Punkte $P$ und $P'$ in einer Ebene, die durch die gemeinschaftliche Achse $OO'$ geht, liegen werden und im gleichen Abstande von der Achse $OO'$. Sonst haben diese Welten nichts Gemeinsames miteinander. Wir kommen im übrigen auf diese Frage noch einmal in Nr. 6 und 7 zurück.

     Aus der Figur ist ersichtlich

(10)	${\mathfrak {r}}={\mathfrak {r}}_{1}+{\mathfrak {c}}_{0}x.$

     Hieraus folgt, da ${\mathfrak {r}}_{1}={\mathfrak {r}}'_{1}$ ist,

(11)	${\mathfrak {r}}'={\mathfrak {r}}_{1}+{\mathfrak {c}}_{0}x',$

daher

(12)	$d{\mathfrak {r}}'=d{\mathfrak {r}}_{1}+{\mathfrak {c}}_{0}dx'$

oder wegen (16) Nr. 3

(13)	$d{\mathfrak {r}}'=d{\mathfrak {r}}_{1}+{\mathfrak {c}}_{0}pdx+{\mathfrak {c}}_{0}sdt=d{\mathfrak {r}}+{\mathfrak {c}}_{0}(p-1)dx+{\mathfrak {c}}_{0}sdt.$

     Es ist aber bekanntlich

(14)	${\mathfrak {v}}={\frac {d{\mathfrak {r}}}{dt}}$

und entsprechend

(15)	${\mathfrak {v}}'={\frac {d{\mathfrak {r}}'}{dt'}}.$

     Demnach erhalten wir

(16)	${\mathfrak {v}}'={\frac {{\mathfrak {v}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}+s{\mathfrak {c}}_{0}}{A}}$

und entsprechend

(17)	${\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {v}}'+(p'-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+s{\mathfrak {'c}}_{0}}{A'}}.$

     5. Bestimmung der Größen $p,s,p_{1}$ und $s_{1}$. Ruht der Punkt, dessen Geschwindigkeit wir in der vorigen Nummer untersuchten, in bezug auf das gestrichene System, so ist ${\mathfrak {v}}'=0$ und ${\mathfrak {v}}$ wird gleich ${\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}={\mathfrak {c}}_{0}q$. Wir erhalten deshalb aus (16) voriger Nr.

(1)

$s=-pq.$

     Ganz analog ergibt sich aus (17) Nr. 4, falls wir uns den Punkt in bezug auf das ungestrichene System als ruhend denken,

(2)	$s'=-p'q'$

oder wegen (20) Nr. 3 und (2) Nr. 2

(3)

$s'=pq$

und endlich wegen (22) Nr. 3

(4)	$s=-qs_{1}.$

Hieraus und aus (1) folgt

(5)

$s_{1}=p$

und aus (23) Nr. 3

(6)	$s'_{1}=p.$

     Wir können deshalb schreiben

(7)	$dx'=pdx-pqdt,\ dt'=p_{1}dx+pdt;$

(8)	$dx=pdx'-pqdt',\ dt=p'_{1}dx'+pdt'$

und

(9)	$D=p\left(p+p_{1}q\right),$

(10)	$p'_{1}=-{\frac {p_{1}}{D}}.$

     Es bleibt uns also nur noch übrig, $p$ und $p_{1}$ zu bestimmen.

     Wir wollen das ungestrichene Koordinatensystem mit $K$ und das gestrichene mit $K'$ bezeichnen und führen noch ein drittes System $K''$ ein, das sich in derselben Richtung ${\mathfrak {c}}_{0}$ bewegt mit einer Geschwindigkeit $q_{2}$, gemessen von $K$. Die Geschwindigkeit von $K'$, gemessen von $K''$ aus, ist $q_{1}$. Für das Paar $K''$, $K'$ soll $K''$ dieselbe Rolle spielen wie $K$ für das Paar $K$, $K'$. Dann folgt in Analogie mit (7)

(11)	$dx'={\bar {p}}dx''-{\bar {p}}q_{1}dt'',\ dt'={\bar {p}}_{1}dx''+{\bar {p}}dt''.$

     Bei dem Paar $K$, $K''$ soll $K$ dieselbe Rolle spielen wie bei dem Paar $K$, $K'$. Dann ist

(12)	$dx''=p''dx-p''q_{2}dt,\ dt''=p''_{1}dx+p''dt.$

     Setzen wir diese Werte von $dx''$ und $dt''$ in (11) ein, so ergibt uns ein Vergleich mit (7)

(13)	$\left\{{\begin{aligned}p=&{\bar {p}}\left(p''+q_{1}p''_{1}\right);&qp=&{\bar {p}}p''\left(q_{1}+q_{2}\right),\\p_{1}=&{\bar {p}}_{1}p''+{\bar {p}}p''_{1};&p=&p''\left({\bar {p}}-q_{2}{\bar {p}}_{1}\right).\end{aligned}}\right.$

Hieraus folgt

${\bar {p}}\left(p''-q_{1}p''_{1}\right)=p''\left({\bar {p}}-q_{2}{\bar {p}}_{1}\right)$

oder

${\bar {p}}q_{1}p''_{1}=q_{2}p''{\bar {p}}_{1},$

d. h.

(14)	${\frac {p''_{1}}{q_{2}p''}}={\frac {{\bar {p}}_{1}}{{\bar {p}}q_{1}}}.$

     Weiter folgt aus (13)

${\frac {p_{1}}{pq}}={\frac {{\bar {p}}_{1}p''+{\bar {p}}p''_{1}}{{\bar {p}}p''\left(q_{1}+q_{2}\right)}}$

oder wegen (14)

${\frac {p_{1}}{pq}}={\frac {{\bar {p}}_{1}}{{\bar {p}}q_{1}}}$

und demnach

(15)	${\frac {p_{1}}{pq}}={\frac {{\bar {p}}_{1}}{{\bar {p}}q_{1}}}={\frac {p''_{1}}{q_{2}p''}}.$

     Da hier in jedem Verhältnis nur Größen stehen, die vollständig voneinander unabhängig sind, und da außerdem ${\mathfrak {c}}_{0}$ willkürlich ist, so folgt aus (15), daß das Verhältnis ${\tfrac {p_{1}}{pq}}$ eine universelle Konstante des Raumes sein muß, welche wir mit $-n$ bezeichnen wollen. Wir haben demnach

(16)	$p_{1}=-pqn$

und folglich

(17)	$D=p^{2}\left(1-q^{2}n\right).$

     Andererseits folgt aus (22) Nr. 3

$p'={\frac {s_{1}}{D}}={\frac {1}{p\left(1-q^{2}n\right)}}=p,$

d. h.

$p^{2}={\frac {1}{1-q^{2}n}}$

und also

(18)	$p={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}.$

     Wir haben also alle Größen mit Hilfe der universellen Konstante bestimmt und können deshalb statt (7) und (8) schreiben, falls wir noch voraussetzen, wie dies im folgenden stets geschehen soll, daß für $t=0$ auch $t'=0$ ist und $O$ mit $O'$ (Fig. 2) zusammenfällt:

(19)	$x'=px-pqt,\ t'=-pqnx+pt.$

(20)	$x=px'+pqt',\ t=pqnx'+pt'.$

(21)	$A=p\left(1-nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}\right).$

     Wir sind somit zu den bekannten Lorentzschen Transformationen gekommen, nur daß an Stelle von $1/c^{2}$ (wo $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bedeutet) hier die universelle Raumkonstante $n$ steht.

     Aus (19) und (20) ersieht man, daß der Übergang von dem ungestrichenen zum gestrichenen System einfach dadurch bewerkstelligt wird, daß man die gestrichenen Größen durch die ungestrichenen ersetzt und umgekehrt, und $q$ durch $-q$. Diese Regel ist im folgenden stets anzuwenden.

     Bei unserer Art der Ableitung der Transformationsgleichungen (19) und (20) haben wir jede spezielle physikalische Erscheinung ausgeschaltet und können deshalb $n$ tatsächlich als eine Konstante des Raumes betrachten. Es bleibt uns nur noch übrig, den Zahlenwert dieser Konstante zu bestimmen. Da $n$ eine universelle Konstante ist, so kann sie mit Hilfe einer beliebigen Erscheinung bestimmt werden. Am einfachsten geschieht dies aber mit Hilfe des Konvektionspotentials einer gleichförmig bewegten Punktladung^[6]; man erhält dann

(22)	$n={\frac {1}{c^{2}}}.$

     Der Ausdruck (18) für $p$ kann nicht imaginär sein, d. h. $q$ darf nicht größer als die Lichtgeschwindigkeit $c$ werden. Nun ist aber $q$ die Geschwindigkeit einer unserer Welten, resp. eines bestimmten Bezugssystems. Es kann sich also kein Bezugssystem mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen.

     Wir denken uns jetzt im Raum unendlich viele Bezugssysteme, die sich von einem aus beurteilt (von uns aus, vom System $K$) alle translatorisch, nach allen möglichen Richtungen und mit allen möglichen konstanten Geschwindigkeiten $q(q\leqq c)$ bewegen.

     Ein Bezugssystem ist aber kein mathematisches Gebilde, sondern eine substanzielle Welt mit ihren Beobachtern. Man kann deshalb annehmen, daß, bei einer beliebigen Bewegung eines substanziellen Punktes, unter den obigen Bezugssystemen sich immer eins finden läßt, welches sich mit derselben Geschwindigkeit bewegt wie der betreffende substanzielle Punkt im Moment $t$. Mit anderen Worten, es ruht der substanzielle Punkt im Moment $t$ in bezug auf das betreffende System, welches man als Ruhekoordinatensystem bezeichnet. Es wird also der substanzielle Punkt während seiner Bewegung in bezug auf alle aufeinander folgenden Ruhekoordinatensysteme hintereinander in Ruhe sein. Man bezeichnet diese Art der Betrachtungsweise als eine Transformation auf Ruhe.^[7]

     Aus dem eben Gesagten schließen wir, daß auch ein substanzieller Punkt sich nicht mit einer größeren Geschwindigkeit als $c$ bewegen kann. Oder richtiger gesagt, wir werden bei der Bewegung eines substanziellen Punktes immer Geschwindigkeiten messen, die nie größer als $c$ sind^[8].

     6. Folgerungen aus den Transformationsgleichungen. Führen wir eine Transformation von dem ungestrichenen System auf das gestrichene auf Grund der Newtonschen Mechanik aus, ohne auf das Relativitätsprinzip Rücksicht zu nehmen, so erhalten wir

(1)	$x'=x-qt,\ t'=t.$

     Ein Vergleich mit (19) Nr. 5 ergibt, wegen der Bedeutung von $p$, daß diese letzteren Gleichungen in die obigen (1) übergehen, falls wir $n=0$ setzen. Und dies gilt allgemein d. h. alle mechanischen Folgerungen, die auf Grund des Relativitätsprinzips abgeleitet sind, gehen in entsprechende der Newtonschen Mechanik über, falls wir in den ersteren $n=0$ setzen.

     Wir führen jetzt eine synchrone Messung einer Strecke $x'-x'_{1}$ aus. Aus (19) Nr. 5 folgt dann

(2)	$x'-x'_{1}=p\left(x-x_{1}\right).$

     Wäre die Strecke $x'-x'_{1}$ in Ruhe in bezug auf das ungestrichene System, also $q=0$, so würde aus (2) folgen, daß dann $x'-x'_{1}=x-x_{1}$ ist. Da dies aber nicht der Fall ist und wir als Ergebnis der Messung die Strecke $x-x_{1}$ erhalten, so lehrt (2), da $p>1$ ist, daß für uns $x'-x'_{1}$ sich scheinbar verkürzt hat (siehe Nr. 2).

     Aus der Gleichung (11) Nr. 4 folgt wegen (19) Nr. 5 und weil ${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}=x$ ist (Fig. 2),

(3)	${\mathfrak {r}}'={\mathfrak {r}}_{1}+{\mathfrak {c}}_{0}x'={\mathfrak {r}}_{1}+{\mathfrak {c}}_{0}(px-pqt)={\mathfrak {r}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}-{\mathfrak {c}}_{0}pqt$

oder auch

(4)	${\mathfrak {r}}'={\mathfrak {r}}-{\mathfrak {c}}_{0}qt+{\mathfrak {c}}_{0}(p-1)(x-qt).$

     Führen wir die Bezeichnung

(5)	${\mathfrak {r}}_{2}={\mathfrak {r}}-{\mathfrak {c}}_{0}qt$

ein, so ersehen wir (Fig. 3), daß ${\mathfrak {r}}_{2}=O'P$ ist, denn $OO'$ ist gleich ${\mathfrak {c}}_{0}qt$. Nach der Newtonschen Mechanik würde ${\mathfrak {r}}_{2}={\mathfrak {r}}'$ sein. Dies folgt auch aus (4), denn für $n=0$ wird $p=1$, und das letzte Glied in (4) fällt dann weg.

     Es ist

(6)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}_{2}={\mathfrak {c}}_{0}(x-qt).$

Deshalb können wir auch statt (4) schreiben

(7)	${\mathfrak {r}}'={\mathfrak {r}}_{2}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}_{2}.$

Weiter folgt, wie leicht zu verifizieren ist,

(8)	${\mathfrak {c}}_{0}x'=p{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}_{2}.$

Fig. 3

     Der Sinn der rechten Seite von (7) ist folgender. Der ungestrichene Beobachter kennt, indem er den Punkt $P$ beobachtet, die Strecke ${\mathfrak {r}}$. Zugleich kennt er $OO'$, welche gleich ${\mathfrak {c}}_{0}qt$ ist. Deshalb ist ihm auch ${\mathfrak {r}}_{2}$ bekannt. Um jetzt die Lage des Punktes für den gestrichenen Beobachter zu bestimmen, d. h. den Punkt $P'$, muß er wegen (7) zu ${\mathfrak {r}}_{2}$ die Strecke $(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}_{2}$ addieren, d. h. aber, daß

(9)	$PP'=(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {r}}_{2}$

ist. Es hat sich also ${\mathfrak {r}}'$ um die Strecke $PP'$ verkürzt und Wegen (8) $O'B'$ in $O'B$ verwandelt, wobei $O'B>O'B$ ist, was mit dem im Anschluß an (2) Gesagten übereinstimmt.

     Gesetzt, wir hätten zwei Punkte $P$ und $P_{1}$ und entsprechend $P'$ und $P'_{1}$. Der Abstand dieser Punkte, gemessen in der Richtung der $X$-Achse, vom ungestrichenen Beobachter aus, sei ${\mathfrak {c}}_{0}a$. Der Abstand $P'P'_{1}$ dieser beiden Punkte für den gestrichenen Beobachter in der Richtung der $X'$-Achse ist wegen (7) gleich. der Differenz der entsprechenden Radienvektoren ${\mathfrak {r}}'$ multipliziert mit ${\mathfrak {c}}_{0}$.

     Hieraus erhalten wir

(10)	$P'P'_{1}={\mathfrak {c}}_{0}a+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}a=pa{\mathfrak {c}}_{0}$

und sehen, daß diese Länge unabhängig ist von der Länge der beiden Punkte in bezug auf das Koordinatensystem. Da $p>1$ ist, so ergibt sich wieder, daß sich die Entfernung der beiden Punkte in Richtung, der Bewegung verkürzt hat. Hieraus folgt auch das bekannte Resultat, daß eine im gestrichenen System befindliche Kugel für den ungestrichenen Beobachter als ein in der Richtung der Bewegung abgeplattetes Rotationsellipsoid erscheint.

     Aus den obigen Erörterungen ist es klar, warum wir die beiden Punkte $P$ und $P'$ nicht zusammenfallend gezeichnet haben. Es sind tatsächlich die Systeme $OPB$ und $O'P'B'$ zwei voneinander unabhängige Welten.

     Wir müssen hier auf eine Analogie mit der Optik hinweisen, die sich als sehr fördernd zum Verständnis der Sache erweist. Bekanntlich haben wir in der Optik einen Objekt- und einen Bildraum und eine gemeinsame optische Achse. Objekt- und Bildraum sind untereinander vertauschbar. In unserem Falle können wir das System $OPB$ als Objektraum und das System $O'P'B'$ als Bildraum auffassen oder auch umgekehrt, da auch hier beide Systeme vertauschbar sind. Die Achse der relativen Geschwindigkeit, d. h. die Richtung ${\mathfrak {c}}_{0}$, vertritt hier die optische Achse. Berücksichtigen wir noch, daß $n$ eine universelle Konstante des Raumes ist, so können wir tatsächlich sagen, der Raum besitze die Eigenschaft, die Gegenstände abzubilden, und zwar für jeden Beobachter anders, je nachdem er sich bewegt.

     Daß es sich tatsächlich um eine Abbildung und nicht um eine wirkliche Verzerrung handelt, erhellt aus folgender Überlegung. Wie gesagt, wird eine Kugel im gestrichenen System dem ungestrichenen Beobachter als ein in der Richtung der Relativbewegung abgeplattetes Rotationsellipsoid erscheinen. Für eine dritte Welt, die sich in einer anderen Richtung in bezug auf dasselbe gestrichene System bewegt, wird diese selbe Kugel in Richtung der anderen Relativbewegung als abgeplattetes Rotationsellipsoid erscheinen. Deshalb kann von einer wirklichen Verzerrung keine Rede sein.

     Betrachten wir noch einmal näher die Ableitung von (10). Da in (6) die Zeit enthalten ist, so haben wir bei der Bestimmung der Größe $a$ implizite angenommen, daß diese Entfernung $a$ an ihren Endpunkten zu gleicher Zeit gemessen wurde, d. h. bei einem bestimmten Wert von $OO'$, haben also mit anderen Worten eine synchrone Messung gemacht und zugleich vorausgesetzt, daß die Punkte $P'$ und $P'_{1}$ in bezug auf das gestrichene System ruhen. Und nur in diesem Falle wird die Gleichung (10) richtig sein. Bewegen sich die Punkte $P'$ und $P'_{1}$ irgendwie in bezug auf das gestrichene System, so gilt Gleichung (10) nicht. Wir kommen weiter darauf zurück.      Wir können weiter fragen: Wie wird ein zum gestrichenen System ruhender Körper durch den Raum im ungestrichenen System abgebildet? Die Antwort ist sehr einfach. Zwei Gerade, die in einer zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ senkrechten Ebene liegen, behalten ihre Länge und den Winkel zwischen ihnen bei. Gerade, die in einer Ebene liegen, die durch ${\mathfrak {c}}_{0}$ geht, werden erstens wieder als Gerade abgebildet. Dies erhellt aus (10), denn die Verkürzung ist proportional der Projektion der betreffenden Geraden auf die $X$-Achse. Zweitens werden die Geraden verkürzt, und zwar, bezeichnet ${\mathfrak {R}}'$ die Strecke im gestrichenen System und ${\mathfrak {R}}$ dieselbe Strecke im ungestrichenen System, so ist wegen (10), da die zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ normale Komponente von ${\mathfrak {R}}'$ gleich ${\mathfrak {R}}'-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'$ ist,

(11)	${\mathfrak {R}}={\mathfrak {R}}'-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'+{\frac {{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'}{p}}={\mathfrak {R}}'-{\frac {(p-1)}{p}}{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'.$

Drittens endlich ändert sich der Winkel zwischen zwei Strecken ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ bei der Abbildung. Bezeichnet $\vartheta '$ den Winkel zwischen ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ im gestrichenen System und $\vartheta$ denselben Winkel im ungestrichenen System, so haben wir

(12)	$\cos \vartheta '={\frac {{\mathfrak {R}}'{\mathfrak {R}}'_{1}}{r'r'_{1}}}$

und

(13)	$\cos \vartheta ={\frac {{\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}}_{1}}{rr_{1}}},$

wo die $r$ die entsprechenden Beträge der Strecken ${\mathfrak {R}}$ bedeuten. Setzen wir (11) in (13) ein und beachten, daß $rr_{1}={\sqrt {{\mathfrak {R}}^{2}{\mathfrak {R}}_{1}^{2}}}$ ist, so erhalten wir

(14)

$\cos \vartheta '={\frac {{\mathfrak {R}}'{\mathfrak {R}}'_{1}-b{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'_{1}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'}{\sqrt {\left\{{\mathfrak {R}}{}^{\prime 2}-b\left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'\right)^{2}\right\}\left\{{\mathfrak {R}}{}_{1}^{\prime 2}-b\left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {R}}'_{1}\right)^{2}\right\}}}},$

wo

(15)	$b={\frac {p^{2}-1}{p^{2}}}=q^{2}n$

bedeutet. Bezeichnen wir mit $\gamma '$ und $\gamma '_{1}$ die Winkel, die ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ mit der $X'$-Achse bilden, so folgt unmittelbar aus (14)

(16)	$\cos \vartheta =\cos \vartheta '{\frac {1-b{\frac {\cos \gamma '\cdot \cos \gamma '_{1}}{\cos \vartheta '}}}{\sqrt {\left(1-b\cos ^{2}\gamma '\right)\left(1-b\cos ^{2}\gamma '_{1}\right)}}}.$

Wir sehen also, daß bei konstantem $\vartheta '$, aber bei verschiedener Lage der Strecken ${\mathfrak {R}}'$ und ${\mathfrak {R}}'_{1}$ (also bei veränderlichen $\gamma '$ und $\gamma '_{1}$) sich $\vartheta$ ändern wird.

     Um ein einfaches Beispiel zu geben, kehren wir zu der Fig. 3 zurück und setzen $O'P'={\mathfrak {R}}',\ O'B'={\mathfrak {R}}'_{1},\ O'P={\mathfrak {R}}$ und $O'B={\mathfrak {R}}_{1}$, dann ist $\vartheta '=\vartheta ',\ \vartheta =\vartheta _{2},\ \gamma '=\vartheta '$ und $\gamma '_{1}=0$, und wir erhalten aus (16)

(16a)

$\cos \vartheta =\cos \vartheta _{2}={\frac {1}{p}}{\frac {\cos \vartheta '}{\sqrt {1-b\cos ^{2}\vartheta '}}}.$

     Wir haben bis jetzt nur von einer rein geometrischen Abbildung gesprochen. Da aber, wie aus Nr. 2 ersichtlich, Raum und Zeit auf das engste verknüpft sind, so müssen wir auch annehmen, daß auch die Zeit abgebildet wird. Und tatsächlich geschieht dies nach einem ganz bestimmten Gesetz, wie wir dies gleich sehen werden.

     Es sei wieder in Fig. 3 $P$ der bewegliche Punkt, dessen Geschwindigkeit ${\mathfrak {v}}$ resp. ${\mathfrak {v}}'$ ist. Aus (16) Nr. 4 erhalten wir leicht unter Berücksichtigung der Bedeutung von $p$ und $A'$

(17)	$1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}={\frac {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}{A}}$

oder

(18)	$A={\frac {\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}.$

     Dies in (4) Nr. 4 eingesetzt, ergibt

(19)	$dt'{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}=dt{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}.$

     Eine überaus wichtige Beziehung. Es stehen auf jeder Seite dieser Gleichung Größen, die sich nur auf das betreffende System beziehen. Denn der gestrichene Beobachter mißt $dt'$ und ${\mathfrak {v}}'$ unabhängig von der Existenz des ungestrichenen Beobachters. Dasselbe gilt für den ungestrichenen Beobachter. Bezeichnen wir

(20)	$dt{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}=d\tau ,$

so ist $d\tau$ also eine Invariante und zwar für alle unsere Welten. Die Größe $\tau$ nennt man die Eigenzeit.

     Aus (20) folgt

(21)	$t=\int \limits _{0}^{t}dt=\int \limits _{0}^{\tau }{\frac {d\tau }{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}},$

(22)	$\tau =\int \limits _{0}^{\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}dt{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}.$

     Hieraus ergibt sich, daß $\tau$ stets kleiner als $t$ ist. D. h. beobachtet man von irgendeinem der Bezugssysteme die Bewegung eines Punktes, so wird die gemessene Zeitdauer der Bewegung immer größer als $\tau$ sein. Es gibt kein Bezugssystem, auf welchem wir für die Zeitdauer der Bewegung die Größe $\tau$ bekämen. Anderseits gibt es auch keine Uhr, die uns die Zeit $\tau$ anzeigen würde, denn alle Uhren geben uns nur die Zeit $t$ oder $t'$ an, je nach dem Bezugssystem, auf welchem wir uns befinden. Dann und nur dann, wenn der Punkt zu einem der Bezugssysteme ruht, also ${\mathfrak {v}}=0$ ist, zeigt die Uhr die Eigenzeit an, d. h. die Zeit, die uns angibt, wie lange der Punkt in bezug auf das betreffende Bezugssystem ruht.      Aus (20) folgt zugleich das Gesetz, nach welchem der Raum die Abbildung der Zeit von einem Bezugssysteme auf das andere besorgt.

     Was sollen wir uns aber überhaupt unter der Eigenzeit $\tau$ vorstellen? Zu dem Zweck verfolgen wir die Bewegung eines substanziellen Punktes und transformieren ihn auf Ruhe. Dann folgt aus (20) ${\mathfrak {v}}=0$ und $dt=d\tau$. Wir können deshalb sagen, daß $\tau$ nichts anderes ist, als die zeitliche Summe der Aufenthalte des betreffenden Punktes auf den aufeinander folgenden Ruhekoordinatensystemen, gemessen nach der entsprechenden Zeit eines jeden Systems. Genau so, wie wenn wir in einem Eisenbahnzug fahren und nur die Zeiten summieren würden, welche der Zug auf den Stationen verbrachte, und noch dazu unter der Bedingung, daß die Uhren auf jeder Station verschieden gehen.

     Betrachten wir eine Uhr im gestrichenen System, so ruht sie zu ihm und zeigt die Zeit $t'$ an. Es ist also ${\mathfrak {v}}^{2}=q^{2}$, und wir erhalten dann (da ${\mathfrak {v}}'=0$ ist)

(23)	$t{\sqrt {1-nq^{2}}}={\frac {1}{p}}=t'.$

D. h. für den gestrichenen Beobachter wird die Uhr im ungestrichenen System schneller laufend erscheinen, da $p>1$ ist. Umgekehrt folgt aus (23)

(24)	${\frac {t'}{p'}}={\frac {t'}{p}}=t.$

     Also auch dem ungestrichenen Beobachter wird eine Uhr im gestrichenen System schneller laufend erscheinen. Außerdem werden die im gestrichenen System ruhenden und synchron laufenden Uhren für den ungestrichenen Beobachter nicht synchron laufen, sondern eine konstante Zeitdifferenz zeigen, je nach ihrer Lage im gestrichenen System. Dies folgt sofort aus (19) Nr. 5. Setzen wir dort den Wert von $x$ aus der ersten Gleichung in die zweite, so erhalten wir

(25)	$t'=-qnx'+pt\left(1-q^{2}n\right)=-qnx'+{\frac {t}{p}}.$

Für einen andern Punkt $x'_{1}$ wird entsprechend sein

(26)	$t'_{1}=-qnx'_{1}+{\frac {t_{1}}{p}}.$

In den beiden Punkten $x'$ und $x'_{1}$ befinden sich aber im gestrichenen System synchron laufende Uhren. Dann ist $t'_{1}=t'$ und die Differenz von (25) und (26) ergibt

(27)	$pqn\left(x'_{1}-x'\right)=t_{1}-t.$

     Hierdurch ist die oben erwähnte konstante Zeitdifferenz der im gestrichenen System synchron laufenden Uhren für den ungestrichenen Beobachter bestimmt. Eine Uhr, die im Sinne der Relativbewegung für den ungestrichenen Beobachter weiter liegt ($x'_{1}-x'$ positiv), wird ihm voreilend erscheinen in bezug auf eine näher liegende Uhr. Dabei werden ihm aber zugleich beide Uhren schneller gehend erscheinen. Uhren, die im gestrichenen System synchron laufen und auf einer Ebene senkrecht zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ liegen, laufen auch für den ungestrichenen Beobachter synchron, aber schneller.

Fig. 4

     Jetzt wird es uns auch verständlich werden, warum (10) im allgemeinen nur dann gilt, wenn die beiden Punkte in bezug auf eins der Systeme ruhen. Denn gesetzt, sie bewegten sich beliebig und befänden sich in einem Zeitpunkt $t'$ für den gestrichenen Beobachter in $P'$ und $P'_{1}$ (Fig. 4). In demselben Moment $t'$ werden sie sich für den ungestrichenen Beobachter in $P$ und $P_{1}$ befinden, wobei augenscheinlich $PA=P'A'$ und $P_{1}B=P'_{1}B'$ sein wird. Aber die Zeit, in welcher sich die Punkte in $P$ und $P_{1}$ befinden, wird wegen (27) für den ungestrichenen Beobachter nicht die gleiche sein. Es sei $P_{2}$ die Lage des Punktes $P$, welche er zu der Zeit einnimmt, die dem Punkte $P_{1}$ entspricht. Augenscheinlich wird der ungestrichene Beobachter in einem solchen Moment die Entfernung der beiden Punkte messen. Hierbei erhält er als Projektion auf ${\mathfrak {c}}_{0}$ die Strecke $A_{2}B$, und das Verhältnis ${\tfrac {A_{2}B}{A'B'}}$ wird von der Bewegung der Punkte abhängen. Wenn aber die Punkte in bezug auf das gestrichene System ruhen, so ist $PA=P'A'={\textrm {const.}}$, $P_{1}B=P'_{1}B'={\textrm {const.}}$ und desgleichen ${\tfrac {A'B'}{AB}}={\textrm {const.}}=p$. Das Verhältnis der Entfernungen verliert seinen Sinn, falls sich die Punkte beliebig bewegen, denn es ist in diesem Falle unbestimmt, zu welcher Zeit diese Entfernungen gemessen werden. In Ausnahmefällen gilt aber (10) dennoch, wenn sich auch die Punkte bewegen, z. B. wenn sich $P'$ und $P'_{1}$ längs $P'A'$ und $P'_{1}B$ bewegen, denn dann ist $t{\frac {A'B'}{AB}}={\textrm {const.}}=p$.

     Wir nehmen $O'P'$ (Fig. 3) als eine Strecke an, die in bezug auf das gestrichene System ruht, und es soll jetzt der ungestrichene Beobachter eine synchrone Messung dieser Strecke ausführen. Zu dem Zweck muß er seinen Maßstab in der Richtung $O'P$ halten, dann werden beim Vorübergehen der Strecke $O'P'$ die Punkte $O'$ und $P'$ mit den Punkten $O'$ und $P$ für den ungestrichenen Beobachter zu gleicher Zeit zusammenfallen. Dies folgt deshalb, weil ${\mathfrak {r}}_{1}={\mathfrak {r}}'_{1}$ ist und weil die Projektionen $O'B$ und $O'B'$ in der Beziehung (10) zueinander stehen. Noch anschaulicher läßt sich dies mit Hilfe der Beziehungen (23) resp. (24) zeigen. Wie gesagt, kommen hierbei nur die Projektionen $O'B$ und $O'B'$ in Betracht. Wir denken uns, der Beobachter im gestrichenen System merke sich einen Punkt auf der $X$-Achse des ungestrichenen Systems und die Zeitdauer $t'$, nach seiner Uhr beurteilt, welche nötig ist, damit der gemerkte Punkt die Strecke $O'B'$ durchläuft, es ist dann

$t'={\frac {O'B'}{q}}$

oder wegen (10)

(28)	$t'={\frac {pO'B'}{q}}.$

Dasselbe tut jetzt ein Beobachter im ungestrichenen System in bezug auf $O'B$ und erhält

(29)	$t={\frac {O'B}{q}}.$

     Aus (28) und (29) ergibt sich dann

${\frac {t'}{p}}=t,$

was mit (24) übereinstimmt. D. h. die beiden Strecken sind einander gleich unter Voraussetzung einer synchronen Messung.

     7. Einige Beispiele. Wir wollen jetzt eine beliebige Bewegung eines Punktes verfolgen und sehen, wie die entsprechende Bahnkurve, von beiden Systemen aus betrachtet, erscheint.

     Infolge von (8) Nr. 6 ist

(1)	$x'=px_{2}=p(x-qt)$

und entsprechend

(2)	$x=px'_{2}=p(x'+qt').$

Fig. 5

     Die Bedeutung dieser Gleichungen ist folgende. Es sei (Fig. 5) $AB$ die Bahnkurve im ungestrichenen System. Projiziert jetzt der ungestrichene Beobachter die von ihm beobachtete Kurve nach der Newtonschen Art auf das gestrichene System, indem er seine Zeit zugrunde legt, so erhält er die Kurve $AB_{1}$, wobei wegen (1) $x_{2}=x-qt$ ist. Um jetzt die tatsächlich vom gestrichenen Beobachter wahrgenommene Kurve zu erhalten, muß er die Abszissen $x_{2}$, $p$-mal vergrößern ($p>1$) und bekommt dann die gesuchte Kurve $AB'$, wobei $x'=px_{2}$ ist.

     Projiziert jetzt der gestrichene Beobachter seine beobachtete Bahnkurve $AB'$ nach Newtonscher Art, unter Zugrundelegung seiner Zeit auf das ungestrichene System, so erhält er die Kurve $AB'_{1}$, wobei $x'_{2}=x'+qt'$ ist. Um jetzt die Wahre Kurve im ungestrichenen System zu erhalten, muß der gestrichene Beobachter die Abszissen $x'_{2}$ auch $p$-mal vergrößern und bekommt dann die gesuchte Kurve $AB$, wobei $x=px'_{2}$ ist.

     Obige Erörterungen gelten auch für Raumkurven, nur daß dann an Stelle der $x$ die Entfernungen der entsprechenden Punkte von einer zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ senkrechten und durch den Punkt $O$ (Fig. 5) gehenden Ebene zu nehmen sind.

     Wir wollen im folgenden als anfängliches System das gestrichene betrachten und von ihm aus zum ungestrichenen übergehen.

     Die Zeit, welche der Punkt braucht, um im gestrichenen System von $A$ nach $C'$ zu kommen, ist $t'$. In demselben Moment $t'$ ist der Punkt im ungestrichenen System in $C$ und braucht dabei, in demselben System, die Zeit $t$. Zwischen $t$ und $t'$ besteht die Beziehung (25) Nr. 6, d. h. es ist

(3)	$t=pt'+pqnx'.$

     Ist $t'_{1}$ die Zeit, welche der Punkt im gestrichenen System braucht, um die ganze Kurve $AB'$ zu durchlaufen und $t_{1}$ die entsprechende Zeit im ungestrichenen System für die Kurve $AB$, so folgt aus (3)

(4)	$t_{1}=pt'_{1}+pqnx'_{1},$

wobei

(5)	$x'_{1}=OB'$

ist.

     Die Beziehung (3), resp. (4) läßt sich noch plausibler machen durch folgende Überlegung. Um die Zeit $t'_{1}$ zu bestimmen, braucht der gestrichene Beobachter zwei ruhende und synchron laufende Uhren: eine im Anfangspunkt und eine im Endpunkt der Bahnkurve. Es ist also $t'_{1}$ nichts anderes als die Differenz der beiden Ablesungen an den zwei Uhren. Der gestrichene Beobachter möchte jetzt aber die Zeitdauer $t_{1}$ des ungestrichenen Beobachters bestimmen. Er kalkuliert also folgendermaßen. Jede seiner Uhren geht auf Grund von Nr. 6 langsamer als die des ungestrichenen Beobachters. Also beobachtet der letztere auf jeden Fall eine Zeitdauer $t'_{1}p$. Der Abstand der beiden Uhren im gestrichenen System, gemessen in demselben System in der Richtung von ${\mathfrak {c}}_{0}$, ist $x'_{1}$, positiv, falls der Endpunkt der Bahnkurve in der Richtung von ${\mathfrak {c}}_{0}$ vor dem Anfangspunkt liegt. Wegen (27) Nr. 6 kommt also noch eine Zeitdifferenz, die der ungestrichene Beobachter wahrnehmen muß, in Betracht. Diese Zeitdifferenz, welche gleich $pqnx'_{1}$ sein wird, muß der gestrichene Beobachter zu $t'_{1}p$ hinzufügen, um $t_{1}$ zu erhalten. D. h. wir kommen so zu dem Ausdruck (4).

     Befindet sich der Anfangs- und der Endpunkt der Bahnkurve im gestrichenen System auf einer zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ senkrechten Ebene, oder liegt die Bahnkurve ganz in dieser Ebene, oder endlich ist die Bahnkurve geschlossen, dann ist $x'_{1}=0$, und es wird

(6)	$t_{1}=t'_{1}p$

sein.

Fig. 6

     Erstes Beispiel. Es rolle in einem Eisenbahnwagen eine Kugel auf einer schiefen Ebene mit einer konstanten Geschwindigkeit ${\mathfrak {v}}'$, vom Passagier aus gemessen. Die Bahnkurve im Wagen sei die Gerade $A'B'$ (Fig. 6) und ${\mathfrak {c}}_{0}$ die Richtung der Bewegung des Wagens. Die nach der Newtonschen Art, vom Passagier aus, abgebildete Bahnkurve ist die Gerade $A'B_{1}$, wobei $B'B_{1}=qt'$ ist und $q$ die Zuggeschwindigkeit bedeutet. Die tatsächlich vom ruhenden Beobachter aus wahrgenommene Bahnkurve ist die Gerade $A'B$, wobei

$BB_{1}=(p-1)OB_{1}=OB_{1}{\frac {1-{\sqrt {1-q^{2}n}}}{\sqrt {1-q^{2}n}}}$

ist.

     Aus (17) Nr. 4 folgt, da hier $A'=p\left(1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'\right)$ ist

(7)	${\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {v}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+pq{\mathfrak {c}}_{0}}{p\left(1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'\right)}}.$

     Da aber ${\mathfrak {v}}'$ konstant ist, so gilt dies wegen (7) auch für ${\mathfrak {v}}$.

     Ist $t_{1}$ die Zeitdauer der Bewegung für den ruhenden Beobachter und $t'_{1}$ für den Passagier, so folgt aus (4)

(8)	$t_{1}=t'_{1}p+pqnx'_{1}=t'_{1}p+pqnOB'.$

     Wir wollen dies direkt nachweisen.

${\begin{aligned}\tau =&\int \limits _{0}^{t_{1}}dt{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}=t_{1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}\\\tau =&\int \limits _{0}^{t'_{1}}dt'{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}=t'_{1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}\end{aligned}}$

d. h.

$t_{1}={\frac {t'_{1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}={\frac {t'_{1}}{A}}=t'_{1}A'=t'_{1}p+t'_{1}pqn{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'.$

     Da aber $t'_{1}{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'=OB'$ ist, so ist hiermit obige Gleichung (8) verifiziert.

Fig. 7

     Zweites Beispiel. Die Bahnkurve im gestrichenen System sei ein Halbkreis mit dem Radius $r'$. Die Winkelgeschwindigkeit $\omega '$ sei konstant, vom gestrichenen System aus gemessen. Der Anfangspunkt $A'$ und der Endpunkt $O$ der Bahnkurve liegen auf einem zu ${\mathfrak {c}}_{0}$ senkrechten Durchmesser (Fig. 7). Dann ist die Gleichung (6) anzuwenden, und wir haben

(9)	$t_{1}=t'_{1}p.$

     Auch dies wollen wir direkt nachweisen.

$\tau =\int \limits _{0}^{t'_{1}}dt'{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}=t'_{1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}=\int \limits _{0}^{t_{1}}dt{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}={\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}\int \limits _{0}^{t_{1}}dtA,$

also

(10)	$t'_{1}=t_{1}p-pqn\int \limits _{0}^{t_{1}}dt{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}.$

     Aus (17) $Nr.4$ erhalten wir

(11)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+q}{1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'}}$

und aus der Fig. 7

(12)	${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'=\omega 'r'\cos \omega 't'.$

Es ist also

(13)	$\int \limits _{0}^{t_{1}}dt{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}=\int \limits _{0}^{t'_{1}}dt'A'{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}=p\int \limits _{0}^{t'_{1}}dt'\left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+q\right)=pqt'_{1}+p\omega 'r'\int \limits _{0}^{t'_{1}}dt'\cos \omega 't'$

     Das letzte Integral verschwindet bei der Integration längs eines Halbkreises, und wir erhalten aus (10) und (13)

$t'_{1}=t_{1}p-p^{2}q^{2}nt'_{1}$

oder

$t'_{1}\left(1+p^{2}q^{2}n\right)=t'_{1}p^{2}=t_{1}p';\ {\text{d. h.}}\ t_{1}=t'_{1}p$

in Übereinstimmung mit (9).

     Die Kurve $A'B'O$, nach der Newtonschen Art abgebildet, ergibt die Kurve $A'B_{1}C_{1}$. Die tatsächlich vom ungestrichenen Beobachter wahrgenommene Kurve ist $A'BC$. Aus (2) folgt $OC=x=pqt'_{1}$.

     Drittes Beispiel. Ein Passagier lasse im Zuge einen Gegenstand fallen. Für ihn ist dann die Bahnkurve eine Gerade, senkrecht zu ${\mathfrak {c}}_{0}$. Diese Gerade nach Newtonscher Art abgebildet, ergibt eine Parabel. Die vom ruhenden Beobachter wahrgenommene Kurve wird auch eine Parabel sein, nur mit $p$ mal größeren Abszissen. Zwischen der Zeitdauer $t'_{1}$ der Bewegung für den Passagier und derjenigen $t_{1}$ für den ruhenden Beobachter besteht die Beziehung (6).

Das Relativitätsprinzip.

Von W. v. Ignatowsky in Berlin.

(Fortsetzung und Schluß von Bd. 17, S. 24.)     

     8. Linien-‚ Flächen- und Volumenelemente. Bevor wir zu den Anwendungen des Relativitätsprinzipes auf einige Gebiete der theoretischen Physik übergehen, müssen wir die Vektoranalysis diesem Prinzip anpassen und müssen deshalb vorerst wissen, wie sich hierbei Linien-‚ Flächen- und Volumenelemente transformieren werden.

     Auf Grund von (19) Nr. 5 erhalten wir, ganz analog wie (3) Nr. 6, für die Entfernung zweier benachbarter Punkte eines bewegten Mediums

(1)	$d{\mathfrak {r}}'=d{\mathfrak {r}}+(p+1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}-pqdt{\mathfrak {c}}_{0}$

und

(2)	$d{\mathfrak {r}}=d{\mathfrak {r}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}'+pqdt'{\mathfrak {c}}_{0}.$

     Hier bedeutet $d{\mathfrak {r}}$ bzw. $d{\mathfrak {r}}'$ nicht die vom ungestrichenen Beobachter (System $K$), resp. vom gestrichenen Beobachter (System $K'$), synchron gemessene Entfernung der beiden Punkte, sondern die Entfernung derjenigen zum System $K$, resp. $K'$ festen Raumpunkte, in welchen sich die beiden beweglichen Punkte zu den Zeiten $t_{1}$ und $t_{2}$, resp. $t'_{1}$ und $t'_{2}$ befanden. Es ist also $t_{2}-t_{1}=dt$ und $t'_{2}-t'_{1}=dt'$.^[9]

     Wir nehmen nun an, der gestrichene Beobachter messe die Entfernung der beiden beweglichen Punkte synchron und zwar im Moment $t'$. Dann ist $dt'=0$ und

(3)[10]

$dt=qn{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}$

(4)[10]

$d{\mathfrak {r}}=d{\mathfrak {r}}_{2}+{\mathfrak {v}}dt=d{\mathfrak {r}}_{2}+qn{\mathfrak {v}}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}},$

wo $d{\mathfrak {r}}_{2}$ die vom ruhenden Beobachter synchron gemessene Entfernung der beiden Punkte bedeutet, zu einer Zeit $t$, Welche dem Moment $t'$ entspricht.

     Multiplizieren wir (4) skalar mit ${\mathfrak {c}}_{0}$, so erhalten wir

(5)	${\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}={\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{0}}{1-qn{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}}}.$

Es folgt deshalb aus (1), indem wir wieder $d{\mathfrak {r}}$ statt $d{\mathfrak {r}}_{2}$ schreiben,

(6)	$d{\mathfrak {r}}'=d{\mathfrak {r}}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}}{A}}$

wo jetzt aber $d{\mathfrak {r}}'$ und $d{\mathfrak {r}}$ die von $K'$, resp. $K$ aus synchron gemessenen Linienelemente bedeuten.

Die Geschwindigkeit ${\mathfrak {v}}$ ist diejenige des unendlich kleinen Volumenelementes, des bewegten Mediums, innerhalb dessen sich das Linienelement $d{\mathfrak {r}}$ befindet.

Innerhalb dieses Volumenelementes nehmen wir drei nicht in einer Ebene liegende Linienelemente und erhalten dann für diese

(7)

$\left\{{\begin{aligned}d{\mathfrak {r}}'_{1}=&d{\mathfrak {r}}_{1}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{1}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{1}}{A}}\\d{\mathfrak {r}}'_{2}=&d{\mathfrak {r}}_{2}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{2}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{2}}{A}}\\d{\mathfrak {r}}'_{3}=&d{\mathfrak {r}}_{3}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{3}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{3}}{A}}\end{aligned}}\right.$

Wir bilden jetzt das Produkt

(8)	$\left[d{\mathfrak {r}}'_{2}d{\mathfrak {r}}'_{3}\right]=d{\mathfrak {f}}'$

welches nichts anderes ist, als ein gerichtetes Flächenelement für den gestrichenen Beobachter.

Aus (7) erhalten wir

(9)	$d{\mathfrak {f}}'=d{\mathfrak {f}}-{\frac {pqn}{A}}\left[{\mathfrak {v}}\left[{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\right]\right]+{\frac {p-1}{A}}\left[{\mathfrak {c}}_{0}\left[{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\right]\right]$

oder unter Berücksichtigung der Bedeutung von $A$ aus (18) Nr. 6

(10)	${\frac {d{\mathfrak {f}}'}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}\left\{d{\mathfrak {f}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}-pqn{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {v}}d{\mathfrak {f}}\right\}$

wobei augenscheinlich $d{\mathfrak {f}}$ bzw. $d{\mathfrak {f}}$ die von $K'$ bzw. $K$ synchron gemessenen Flächenelemente bedeuten.

Aus (10) und (7) ergibt sich weiter für das Produkt

$d{\mathfrak {r}}'_{1}\left[d{\mathfrak {r}}'_{2}d{\mathfrak {r}}'_{3}\right]=d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'$

(11)	$d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'={\frac {d{\mathfrak {r}}d{\mathfrak {f}}}{A}}$

oder

(11a)

${\frac {d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}={\frac {d{\mathfrak {r}}_{1}d{\mathfrak {f}}}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}$

Nun sind $d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'$ bzw. $d{\mathfrak {r}}d{\mathfrak {f}}$ nichts anderes als die entsprechenden Volumenelemente $dv'$ bzw. $dv$, synchron gemessen von $K'$ bzw. $K$ aus. Aus (113) folgt demnach

(12)	${\frac {dv'}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}={\frac {dv}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}=dJ$

und wir ersehen hieraus, daß $dJ$ bei dem Übergang von $K'$ zu $K$ eine Invariante ist.

Multiplizieren wir (12) mit (26) Nr. 6, so erhalten wir

(13)	$dJd{\mathfrak {r}}=dv'dt'=dvdt$

Woraus folgt, daß auch $dvdt$ eine Invariante ist, denn dies gilt ja für $dJ$ und $d{\mathfrak {r}}$.

9. Vektoranalytische Transformationen. Wir wollen jetzt untersuchen, welche Beziehungen zwischen den vektoranalytischen Transformationen im System $K'$ und denjenigen im System $K$ bestehen.

Die vektoranalytischen Transformationen beruhen in der Hauptsache auf der Anwendung des Zeichens Nabla = $\nabla$, was eine Abkürzung für eine gewisse Oberflächenintegration darstellt.^[11]

Wir werden an der Operation $\mathrm {div}$ den Übergang von dem einen System zum anderen ausführlicher erklären, woraus sich dann leicht der Übergang bei den anderen Operationen ableiten läßt.

Es sei im gestrichenen System ein Vektor ${\mathfrak {A}}'$ gegeben, für welchen der gestrichene Beobachter die Operation $\mathrm {div} '$ bestimmt.

Es ist dann für diesen Beobachter (siehe (45) I)

(1)	${\underset {\lim V'=0}{\mathrm {div} '{\mathfrak {A}}'={\frac {\int {\mathfrak {A}}'d{\mathfrak {f}}'}{V'}}}}$

Wir müssen jetzt die rechte Seite von (1) so umformen, durch Einführung von ungestrichenen Größen, daß der ungestrichene Beobachter denselben Zahlenwert von $\mathrm {div} '{\mathfrak {A}}'$ berechnen kann wie der gestrichene.

Zu dem Zweck denken wir uns zuerst in ${\mathfrak {A}}'$ statt $x',y',z',t'$ ihre Werte mit Hilfe von (19) Nr. 5 durch $x,y,z,t$ ausgedrückt. Was müssen wir nun weiter für $d{\mathfrak {f}}'$ und $V'$ einsetzen?

Bei der Ausrechnung der rechten Seite von (1) bezieht der gestrichene Beobachter $d{\mathfrak {f}}'$ und $V'$ auf den Raum, der zu ihm ruht, zugleich mißt er aber auch $d{\mathfrak {f}}'$ und $V'$ synchron. Nun wird der ungestrichene Beobachter bei der Ausrechnung der vektoranalytischen Transformationen mit $d{\mathfrak {f}}$ und $V$ (oder $dv$) operieren, die sich auf einen Raum beziehen, der zu ihm ruht, und außerdem werden die Größen von ihm aus synchron gemessen. Wir müssen demnach $d{\mathfrak {f}}'$ und $V'$ durch solche Größen $d{\mathfrak {f}}$ und $V$ ersetzen, welche zu dem System $K$ ruhen und im Moment $t$, welcher dem Moment $t'$ entspricht (d. h. demjenigen Moment, bei welchem der gestrichene Beobachter sein Integral berechnet), für den gestrichenen Beobachter mit $d{\mathfrak {f}}'$ und $V'$ nach Größe und Richtung zusammenfallen.

D. h. aber, wir müssen in (10) und (12) Nr. 8 ${\mathfrak {v}}=0$ setzen, und erhalten dann, da nun ${\tfrac {1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}=p$ ist,

(2)	$d{\mathfrak {f}}'={\frac {d{\mathfrak {f}}}{p}}+{\frac {(p-1)}{p}}{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}$

(3)	$dV'={\frac {dV}{p}}$

Und diese Werte müssen wir statt $d{\mathfrak {f}}'$ und $V'$ in (1) einsetzen.

Es folgt deshalb aus (1)

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {div} '{\mathfrak {A}}'&={\underset {\lim V'=0}{\frac {\int {\mathfrak {A}}'d{\mathfrak {f}}'}{V'}}}={\underset {\lim V=0}{\frac {\int '{\mathfrak {A}}'\left\{d{\mathfrak {f}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\right\}}{V}}}\\&=\mathrm {div} \left\{{\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'\right\}\end{aligned}}\right.$

Obwohl sich $\mathrm {div}$ in (4) auf einen zum System $K$ ruhenden Raum bezieht, so ist dennoch der Ausdruck (4) noch nicht vollständig. Denn, wie oben bemerkt, berechnet der gestrichene Beobachter die rechte Seite von (1) in einem bestimmten Moment $t'$, also bei konstanter Zeit $t'$.

Der ungestrichene Beobachter berechnet aber seine vektoranalytischen Transformationen auch bei konstanter Zeit $t$. Nun ist aber die rechte Seite von (4) bei konstantem $t'$ berechnet. Wir müssen sie deshalb für ein konstantes $t$ umformen. Dies geschieht folgendermaßen. Aus (19) $Nr.5$ folgt für konstantes $t'$

(5)	${\frac {dt}{dx}}=qn$

oder in Vektorform geschrieben

(5a)	$qn={\mathfrak {c}}_{0}\nabla t$

Nun fällt der Gradient von $t$ (bei konstantem $t'$) in die Richtung von ${\mathfrak {c}}_{0}$, was auch aus (27) $Nr.6$ folgt. Es ist deshalb

(6)	$\nabla t={\mathfrak {c}}_{0}\cdot qn;\ t'=\mathrm {konst.}$

Wir ersehen hieraus, daß im Ausdruck unter $\mathrm {div}$ in (4), $t$ als Parameter betrachtet werden muß‚ in welchem implizite noch $x$ enthalten ist.

Bezeichnen wir den Ausdruck unter $\mathrm {div}$ in (4) durch ${\mathfrak {B}}$, so müssen wir in (4) statt $\mathrm {div} {\mathfrak {B}}$, infolge (134) I, schreiben

(7)	$\mathrm {div} {\mathfrak {B}}+{\frac {\partial {\mathfrak {B}}}{\partial t}}\nabla t=\mathrm {div} {\mathfrak {B}}+{\frac {\partial {\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}}{\partial t}}\cdot qn$

und erhalten dann endgültig

(8)	$\mathrm {div} '{\mathfrak {A}}'=\mathrm {div} \left\{{\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'\right\}+pqn{\frac {\partial {\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}}{\partial t}}$

wo nun $\mathrm {div}$ bei konstantem $t$ zu nehmen ist.

Ganz analog erhalten wir auf Grund von (44)I und (136) I für einen Skalar $a'$

(9)	$\nabla 'a'=\nabla a'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}\nabla a'+pqn{\mathfrak {c}}_{0}{\frac {\partial a'}{\partial t}}$

Aus (68) I folgt, da ${\mathfrak {c}}_{0}=\mathrm {konst.}$ ist,

(10)	$\nabla \left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)=\left({\mathfrak {c}}_{0}\nabla \right){\mathfrak {B}}+\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} {\mathfrak {B}}\right]$

und aus (63) I

(11)	$\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]=\left({\mathfrak {c}}_{0}\nabla \right){\mathfrak {B}}-{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {div} {\mathfrak {B}}$

oder

(11a)

$\left({\mathfrak {c}}_{0}\nabla \right){\mathfrak {B}}=\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]+{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {div} {\mathfrak {B}}$

Hieraus und aus (10) ergibt sich

(12)	$\nabla \left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)=\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]+\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} {\mathfrak {B}}\right]+{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {div} {\mathfrak {B}}$

Daraus folgt

(13)	${\mathfrak {c}}_{0}\nabla \left({\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)=\mathrm {div} \left({\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)={\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]+\mathrm {div} {\mathfrak {B}}$

oder

(13a)

${\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]=\mathrm {div} \left({\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)-\mathrm {div} {\mathfrak {B}}$

Weiter ergibt (65) I

(14)	$\mathrm {div} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]={\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} {\mathfrak {B}}$

und (69) I und (12)

(15)

${\begin{aligned}\mathrm {rot} \left({\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)=&-\left[{\mathfrak {c}}_{0}\nabla \left({\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right)\right]=-\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]\right]-\\-\left[{\mathfrak {c}}_{0}\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} {\mathfrak {B}}\right]\right]=&-\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]\right]-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} {\mathfrak {B}}+\mathrm {rot} {\mathfrak {B}}\end{aligned}}$

oder unter Berücksichtigung von (14)

(16)	$\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]\right]=\mathrm {rot} \left({\mathfrak {B}}-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {B}}\right)-{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {div} \left[{\mathfrak {B}}{\mathfrak {c}}_{0}\right]$

Auf Grund von (2), (3) und (46) I erhalten wir

(17)

${\begin{aligned}\mathrm {rot} '{\mathfrak {A}}'&={\underset {\lim V'=0}{\frac {\int \left[d{\mathfrak {f}}'{\mathfrak {A}}'\right]}{V'}}}={\underset {\lim V=0}{\frac {\int \left[d{\mathfrak {f}}{\mathfrak {A}}'\right]}{V}}}+{\underset {\lim V=0}{(p-1){\frac {\int {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\cdot \left[{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'\right]}{V}}}}\\&=\mathrm {rot} {\mathfrak {A}}'+{\underset {\lim V=0}{(p-1)\left[{\mathfrak {c}}_{0}{\frac {\int {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {A}}'}{V}}\right]}}\end{aligned}}$

oder wegen (57) I und (11a)

$\mathrm {rot} '{\mathfrak {A}}'=\mathrm {rot} {\mathfrak {A}}'+(p-1)\left[{\mathfrak {c}}_{0}\mathrm {rot} \left[{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\right]\right]$

und wegen (16)

$\mathrm {rot} '{\mathfrak {A}}'=\mathrm {rot} \left\{p{\mathfrak {A}}'-(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'\right\}-(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot \mathrm {div} \left[{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\right]$

Oder endlich, unter Berücksichtigung, daß $t'=\mathrm {konst.}$ ist, und wegen (134) I und (135) I

(18)

$\mathrm {rot} '{\mathfrak {A}}'=\mathrm {rot} \left\{p{\mathfrak {A}}'-(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'\right\}-(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot \mathrm {div} \left[{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\right]-pqn{\frac {\partial \left[{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\right]}{\partial t}}$

Weiter folgt aus (20) $Nr.5$ bei $x'=\mathrm {konst.}$

(19)	${\frac {\partial a'}{\partial t'}}={\frac {\partial a}{\partial t'}}{\frac {dt}{dt'}}+{\frac {\partial a'}{\partial x}}{\frac {dx}{dt'}}={\frac {\partial a}{\partial t'}}p+pq{\mathfrak {c}}_{0}\nabla a'$

und analog

(20)	${\frac {\partial {\mathfrak {A}}'}{\partial t'}}={\frac {\partial {\mathfrak {A}}'}{\partial t}}p+pq\left({\mathfrak {c}}_{0}\nabla \right){\mathfrak {A}}'$

oder wegen (11a)

(21)	${\frac {\partial {\mathfrak {A}}'}{\partial t'}}={\frac {\partial {\mathfrak {A}}'}{\partial t}}p+pq\ \mathrm {rot} \left[{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\right]+pq{\mathfrak {c}}_{0}\cdot \mathrm {div} {\mathfrak {A}}'$

10. Vektoren erster und zweiter Art. Wir kehren zu dem Ausdruck (3) $Nr.6$ zurück und ersetzen dort ${\mathfrak {r',r}}$ und $t$ allgemein durch ${\mathfrak {A',A}}$ und $b$; wir erhalten dann

(1)	${\mathfrak {A}}'={\mathfrak {A}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}-pqb{\mathfrak {c}}_{0}$

Einen solchen Vektor, der sich nach dem Schema (1) transformiert, nennen wir, nach Minkowski^[12], einen Vektor erster Art. Abkürzungsweise und um zugleich die unbekannte Größe $b$, die bei der Transformation vom System $K$ zu dem System $K'$ auftritt, hervorzuheben, werden wir einen solchen Vektor durch $({\mathfrak {A}},b)$ bezeichnen, wobei das Schema (1) immer im Auge zu behalten ist.

Analog (1) erhalten wir

(2)	${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'+pqb'{\mathfrak {c}}_{0}$

Hieraus folgen leicht die Beziehungen

${\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'=p{\mathfrak {Ac}}_{0}-pqb$

(3)	${\mathfrak {A}}'-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'={\mathfrak {A}}-{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}$

(4)	$b=pb'+pqn{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}$

(5)	$b'=pb-pqn{\mathfrak {A}}{\mathfrak {c}}_{0}$

(6)	${\mathfrak {A}}^{\prime 2}-{\frac {b^{\prime 2}}{n}}={\mathfrak {A}}^{2}-{\frac {b^{2}}{n}}=F$

(7)	${\mathfrak {A}}'+{\frac {(p-1)}{pqn}}b'{\mathfrak {c}}_{0}={\mathfrak {A}}-{\frac {(p-1)}{pqn}}b{\mathfrak {c}}_{0}$

Aus (6) ist ersichtlich, daß $F$ eine Invariante ist. Weiter ergibt sich für zwei Vektoren erster Art $({\mathfrak {A}}_{1},b_{1})$ und $\left({\mathfrak {A}}_{2},b_{2}\right)$

(8)	${\mathfrak {A}}_{1}^{\prime }{\mathfrak {A}}_{2}^{\prime }-{\frac {b_{1}^{\prime }b_{2}^{\prime }}{n}}={\mathfrak {A}}_{1}{\mathfrak {A}}_{2}-{\frac {b_{1}b_{2}}{n}}$

und endlich auf Grund der vorigen Nr.

(9)	$\mathrm {div} '{\mathfrak {A}}'+{\frac {\partial b'}{\partial t'}}=\mathrm {div} {\mathfrak {A}}+{\frac {\partial b}{\partial t}}=G$

Also auch $G$ ist eine Invariante.

Aus (16) $Nr.4$ und (18) $Nr.6$ erhalten wir

(10)

$\frac{{\mathfrak{v}}^{\prime }}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->n{\mathfrak{v}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->n{\mathfrak{v}}^2}}\{\mathfrak{v}+(p-<!--\; -\; -->1){\mathfrak{c}}_0\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathfrak{c}}_0\mathfrak{v}-<!--\; -\; -->pq{\mathfrak{c}}_{}$