David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.4

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.4 Die Diskriminante des Körpers und ihre Teiler.

7.5 Der Relativkörper. →

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4. Die Diskriminante des Körpers und ihre Teiler.

§ 10. Der Satz über die Teiler der Diskriminante des Körpers. Hilfssätze über ganze Funktionen.

Die Diskriminante des Körpers $k$ ist, wenn $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ eine Basis von $k$ bedeutet, definiert durch die Gleichung

$d=\left|{\begin{aligned}&\omega _{1},&&\ldots ,\ \omega _{m}\\&\omega '_{1},&&\ldots ,\ \omega '_{m}\\&&&\vdots \\&\omega _{1}^{(m-1)},&&\ldots ,\ \omega _{m}^{(m-1)}\end{aligned}}\right|^{2}$;

sie ist eine ganze rationale Zahl. Für die Entwicklung der Körpertheorie ist

die Untersuchung der in der Diskriminante des Körpers $k$ aufgehenden idealen Faktoren von grundlegender Bedeutung. Es gilt der fundamentale Satz:

Satz 31. Die Diskriminante $d$ des Zahlkörpers $k$ enthält alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen als Faktoren, welche durch das Quadrat eines Primideals teilbar sind.

Der Beweis dieses Satzes hat erhebliche Schwierigkeiten verursacht; er ist zum erstenmal von Dedekind geführt worden [Dedekind (6^[1])]. Hensel hat einen zweiten Beweis dieses Satzes gegeben und dadurch die Kroneckersche Theorie der algebraischen Zahlen in einem wesentlichen Punkte ergänzt. Der Henselsche Beweis beruht auf folgenden von Kronecker geschaffenen Begriffen: [Kronecker (16^[2]), Hensel (4^[3])].

Bedeuten $u_{1}$, …, $u_{m}$ Unbestimmte, und ist $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ eine Basis, so heißt

$\xi =\omega _{1}u_{1}+\cdots +\omega _{m}u_{m}$

die Fundamentalform des Körpers $k$. Dieselbe genügt offenbar der Gleichung für $x$

$(x-\omega _{1}u_{1}-\cdots -\omega _{m}u_{m})(x-\omega '_{1}u_{1}-\cdots -\omega '_{m}u_{m})\cdots (x-\omega _{1}^{(m-1)}u_{1}-\cdots -\omega _{m}^{(m-1)}u_{m})=0$,

welche die Gestalt

$x^{m}+U_{1}x^{m-1}+U_{2}x^{m-2}+\cdots +U_{m}=0$

annimmt, wo $U_{1}$, …, $U_{m}$ gewisse ganze Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ mit ganzen rationalen Koeffizienten sind. Diese Gleichung $m$-ten Grades heißt die Fundamentalgleichung. Um mit den eben definierten Begriffen operieren zu können, ist es nötig, die Sätze über die Zerlegung von ganzen Funktionen einer Veränderlichen $x$ nach einer rationalen Primzahl $p$ [Serret (1^[4])] auf den allgemeineren Fall zu übertragen, wo die ganzen Funktionen neben der einen Veränderlichen $x$ noch die $m$ Unbestimmten $u_{1}$, …, $u_{m}$ als Parameter enthalten.

Im folgenden werde unter einer ganzzahligen Funktion stets eine solche ganze rationale Funktion der Veränderlichen oder Unbestimmten verstanden, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind. Es heiße ferner eine ganzzahlige Funktion $Z(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ durch eine andere ganzzahlige Funktion $X(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ teilbar nach $p$, wenn eine dritte ganzzahlige Funktion $Y(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ existiert derart, daß identisch in den Veränderlichen $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ die Kongruenz

$Z\equiv XY$,     $(p)$

besteht. Ist eine ganzzahlige Funktion $P$ nach $p$ durch keine andere Funktion teilbar außer durch solche Funktionen, die einer ganzen rationalen Zahl oder der Funktion $P$ selbst oder dem Produkte aus $P$ in eine ganze rationale Zahl nach $p$ kongruent sind, so heißt die Funktion $P$ eine Primfunktion nach $p$. Wie in der Theorie der Funktionen einer Veränderlichen gelten auch hier die gewöhnlichen Gesetze der Teilbarkeit; insbesondere heben wir den durch das bekannte Euklidische Rekursionsverfahren leicht zu beweisenden Satz hervor:

Satz 32. Wenn zwei ganzzahlige Funktionen $X$ und $Y$ von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach der rationalen Primzahl $p$ keinen gemeinsamen Teiler haben, so gibt es eine ganzzahlige, nach $p$ nicht der $0$ kongruente Funktion $U$ von $u_{1}$, …, $u_{m}$ allein, so daß man

$U\equiv AX+BY$,     $(p)$

hat, wo $A$ und $B$ geeignete ganzzahlige Funktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind.

Unser nächstes Ziel ist die Zerlegung der linken Seite $F$ der Fundamentalgleichung in Primfunktionen nach der rationalen Primzahl $p$. Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:

Hilfssatz 3. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein in $p$ aufgehendes Primideal $f$-ten Grades bezeichnet, so gibt es stets nach $p$ eine Primfunktion $\textstyle \prod (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ vom $f$-ten Grade in $x$, welche, wenn man an Stelle von $x$ die Fundamentalform $\xi$ setzt, folgende Eigenschaften besitzt: die Koeffizienten der Potenzen und Produkte von $u_{1}$, …, $u_{m}$ in der Funktion $\textstyle \prod (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ sind durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht sämtlich durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ und auch nicht sämtlich durch ein von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes, in $p$ aufgehendes Primideal teilbar.

Beweis: Es sei $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {a}}$, wo das Ideal ${\mathfrak {a}}$ nicht mehr durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist. Ferner sei $\varrho$ eine solche Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$, welche die in den Sätzen 29 und 30 angegebenen Eigenschaften besitzt. $P(\varrho )$ sei eine wie dort bestimmte, zu ${\mathfrak {p}}$ gehörige ganzzahlige Funktion $f$-ten Grades von der Art, daß ${\mathfrak {p}}=(p,\,P(\varrho ))$ ist. $P(x)$ ist Primfunktion nach $p$, weil sonst $\varrho$ einer Kongruenz niederen als $f$-ten Grades nach ${\mathfrak {p}}$ genügen würde. Wir setzen

$\varrho =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$,

wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganz rationale Zahlen sind, und nehmen den Koeffizienten von $\varrho ^{f}$ in $P(\varrho )$ gleich $1$ an. Da $P(\varrho )\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, so folgt nach Satz 27, daß auch $P(\varrho ^{p})\equiv 0$, $P(\varrho ^{p^{2}})\equiv 0$, …, $P(\varrho ^{p^{f-1}})\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, d. h. die Kongruenz $P(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ besitzt die $f$ einander inkongruenten Wurzeln $\varrho$, $\varrho ^{p}$, …, $\varrho ^{p^{f-1}}$, und es ist mithin identisch in $x$

$P(x)\equiv (x-\varrho )(x-\varrho ^{p})\ldots (x-\varrho ^{p^{f-1}})$,     $({\mathfrak {p}})$

d. h. die elementarsymmetrischen Funktionen von $\varrho$, $\varrho ^{p}$, …, $\varrho ^{p^{f-1}}$ sind sämtlich nach ${\mathfrak {p}}$ gewissen ganzen rationalen Zahlen kongruent.

Da jede ganze Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {p}}$ einer ganzzahligen Funktion von $\varrho$ kongruent ist, so können wir die Fundamentalform

$\xi \equiv L(\varrho ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$

nach ${\mathfrak {p}}$ setzen, wo $L$ eine ganzzahlige Funktion von $\varrho$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeutet. Nach dem eben Bewiesenen ist der Ausdruck

$(x-L(\varrho ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}))(x-L(\varrho ^{p};\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}))\ldots (x-L(\varrho ^{p^{f-1}};\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m}))$

nach ${\mathfrak {p}}$ einer ganzzahligen Funktion von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ kongruent; wir setzen ihn in die Gestalt

$\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})=x^{f}+V_{1}x^{f-1}+\cdots +V_{f}$,

wo $V_{1}$, …, $V_{f}$, ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeuten. Offenbar genügt die Fundamentalform $\xi$, für $x$ gesetzt, der Kongruenz

$\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$.

Da die Funktion $\Pi (x;\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{m})\equiv P(x)$ nach $p$ ist, so folgt, daß auch ${\mathfrak {p}}=(p,\,\Pi (\varrho ;\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{m}))$ ist, und mithin sind die Koeffizienten der Potenzen und Produkte von $u_{1}$, …, $u_{m}$ in $\Pi (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ nicht sämtlich durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ und auch nicht sämtlich durch ein von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes, in ${\mathfrak {a}}$ aufgehendes Primideal teilbar. Da $P(x)$ Primfunktion ist, so gilt das gleiche um so mehr von der Funktion $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$.

Hilfssatz 4. Jede ganzzahlige Funktion $\Phi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$, welche identisch in $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach ${\mathfrak {p}}$ dem Wert $0$ kongruent wird, sobald man für $x$ die Fundamentalform $\xi$ einsetzt, ist nach $p$ durch $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ teilbar.

Beweis: Im gegenteiligen Falle hätten $\Phi$ und $\Pi$ nach $p$ keinen Teiler gemein, und es müßte folglich nach Satz 32 eine nach $p$ dem Wert $0$ nicht kongruente ganzzahlige Funktion $U$ von $u_{1}$, …, $u_{m}$ allein existieren, so daß $U\equiv A\Phi +B\Pi$ nach $p$ wird, wo $A$, $B$ ganzzahlige Funktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind. Hieraus würde, wenn man für $x$ die Fundamentalform $\xi$ einsetzt, $U\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ und folglich auch nach $p$ sich ergeben, was nicht der Fall ist.

Hilfssatz 5. Ist $\Phi$ eine ganzzahlige Funktion von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$, welche identisch in $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ dem Wert $0$ kongruent wird, wenn man für $x$ die Fundamentalform $\xi$ einsetzt, so muß notwendig $\Phi$ nach $p$ durch $\Pi ^{e}$ teilbar sein.

Beweis: Setzen wir $\Phi \equiv \Pi ^{e'}F$ nach $p$, wo $e'<e$ ist und $F$ eine ganzzahlige Funktion von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeutet, die nach $p$ nicht mehr durch $\Pi$ teilbar ist, so folgt, daß sämtliche Koeffizienten der Potenzen und Produkte von $u_{1}$, …, $u_{m}$ in $\{\Pi (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})\}^{e'}F(\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$ durch ${\mathfrak {p}}^{e}$ teilbar sein müssen. Wir denken uns nun sowohl $\Pi (\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ als $F(\xi ;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ nach fallenden Potenzen der Variabeln $u_{1}$ und die Koeffizienten der Potenzen von $u_{1}$ wiederum nach fallenden Potenzen von $u_{2}$ geordnet usf. Ist dann $\pi$ der erste Koeffizient in $\Pi (\xi )$, welcher nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbar ist, und zutreffendenfalls $\varkappa$ der erste Koeffizient in $F(\xi )$, welcher nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist, so würde $\pi ^{e'}\varkappa \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ folgen, was nicht möglich ist; d. h. sämtliche Koeffizienten von $F(\xi )$ sind durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, und hieraus folgt nach dem Hilfssatz 4, daß $F(x;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ durch $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})$ nach $p$ teilbar ist. Diese Folgerung widerspricht unserer Annahme.

§ 11. Die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung. Die Diskriminante der Fundamentalgleichung.

Aus den Hilfssätzen 3, 4 und 5 folgen die nachstehenden wichtigen Tatsachen, welche die Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung betreffen:

Satz 33. Ist die Zerlegung der rationalen Primzahl $p$ in Primideale durch die Formel $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {p}}^{\prime e'}$ … gegeben, so gestattet die linke Seite $F$ der Fundamentalgleichung im Sinn der Kongruenz nach $p$ die Darstellung

$F\equiv \Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'}\ldots$,     $(p)$,

wo $\Pi$, $\Pi '$, … gewisse verschiedene Primfunktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ nach $p$ bedeuten; überdies ist, wenn

$F\equiv \Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'}\ldots +pG$

gesetzt wird, $G$ eine ganzzahlige Funktion der Veränderlichen $x$, $u_{1}$, …‚ $u_{m}$, welche nach $p$ durch keine der Primfunktionen $\Pi$, $\Pi '$, … teilbar ist.

Satz 34. Die aus der Fundamentalgleichung sich ergebende Kongruenz $m$-ten Grades

$F(x;\,u_{1},\,\ldots ,u_{m})\equiv 0$,     $(p)$

ist zugleich die Kongruenz niedrigsten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten, welcher die Fundamentalform $\xi$, für $x$ eingesetzt, nach $p$ genügt.

Beweis: Es sei $\Phi$ eine ganzzahlige Funktion von $x$, $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ solcher Art, daß die Kongruenz $\Phi (x)\equiv 0$ nach $p$ von der Fundamentalform $\xi$ befriedigt wird. Ferner seien die voneinander verschiedenen, in $p$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … bezüglich von den Graden $f$, $f'$, …; durch Bildung der Norm folgt $p^{m}=p^{fe+f'e'+\cdots }$, d. h. $m=fe+f'e'+\cdots$. Ferner mögen $\Pi$, $\Pi '$, … bez. die zu den Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … gehörigen Primfunktionen von $x$, $u_{1}$, …, $u_{m}$ bedeuten, wie sie in den vorigen Hilfssätzen gebraucht worden sind. Aus dem Hilfssatz 5 folgt dann

$\Phi \equiv \Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'}\ldots \Psi$,     $(p)$,

wo $\Psi$ eine ganzzahlige Funktion bezeichnet. Da $\Pi$, $\Pi '$, … bezüglich von den

Graden $f$, $f'$, … in $x$ sind, so folgt, daß $\Phi$ mindestens vom $m$-ten Grade in $x$ sein muß, und dieser Umstand liefert, wenn man an Stelle von $\Phi$ die linke Seite $F$ der Fundamentalgleichung wählt, den ersten Teil des Satzes 33 und den Satz 34.

Wäre endlich $G(x)$ nach $p$ etwa durch $\Pi (x)$ teilbar, so würde die Fundamentalform $\xi$, für $x$ eingesetzt, der Kongruenz $G(x)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ und folglich auch der Kongruenz $\Pi ^{e}(x)\Pi ^{\prime e'}(x)\cdots \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{e+1}$ genügen müssen, was nach Hilfssatz 5 nicht möglich ist. Damit ist auch der zweite Teil des Satzes 33 bewiesen.

Die gefundenen Tatsachen bedingen eine Reihe von wichtigen Diskriminantensätzen:

Satz 35. Der größte Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalgleichung ist gleich der Diskriminante des Körpers.

Beweis: Wir setzen

$\left.{\begin{aligned}1^{\color {White}m-1\color {Black}}&=U_{11}\omega _{1}+\cdots +U_{1m}\omega _{m},\\\xi ^{\color {White}m-1\color {Black}}&=U_{21}\omega _{1}+\cdots +U_{2m}\omega _{m},\\&\qquad \qquad \vdots \\\xi ^{m-1}&=U_{m1}\omega _{1}+\cdots +U_{mm}\omega _{m},\end{aligned}}\right\}$

(2)

wo $U_{11}$, …‚ $U_{mm}$ ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ seien. Wäre nun die Determinante $U$ dieser $m^{2}$ Funktionen eine solche Funktion, deren sämtliche Koeffizienten etwa durch die rationale Primzahl $p$ teilbar sind, so gäbe es offenbar $m$ nicht sämtlich dem Werte $0$ nach $p$ kongruente ganzzahlige Funktionen $V_{1}$, …‚ $V_{m}$ von $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ der Art, daß identisch in $u_{1}$, …, $u_{m}$

${\begin{aligned}V_{1}U_{11}&+\cdots +V_{m}U_{m1}\equiv 0,\quad (p)\\&\qquad \qquad \vdots \\V_{1}U_{1m}&+\cdots +V_{m}U_{mm}\equiv 0,\quad (p)\\\end{aligned}}$

wird. Mithin müßte die Fundamentalform $\xi$ der Kongruenz

$V_{1}+V_{2}\xi +\cdots +V_{m}\xi ^{m-1}\equiv 0,\quad (p)$

genügen, welche von niederem als $m$-tem Grade ist. Da dies nach Satz 34 nicht statthaben kann, so folgt, daß die Determinante $U$ eine rationale Einheitsform ist.

Die Gleichungen (2) ergeben mit Hilfe des Multiplikationssatzes der Determinanten:

$\left|{\begin{matrix}1,&\xi ,&\ldots ,&\xi ^{m-1}\\1,&\xi ',&\ldots ,&\xi ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\xi ^{(m-1)},&\ldots ,&(\xi ^{(m-1)})^{m-1}\end{matrix}}\right|=U\left|{\begin{matrix}\omega _{1},&\ldots ,&\omega _{m}\\\omega '_{1},&\ldots ,&\omega '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}\end{matrix}}\right|\cdot$

Durch Quadrieren dieser Beziehung folgt $d(\xi )=U^{2}d$ oder $d(\xi )\simeq d$, wo $d(\xi )$ die Diskriminante der Fundamentalgleichung und $d$ die Körperdiskriminante bedeutet.

Durch Auflösung der Gleichungen (2) ergibt sich ferner die folgende Tatsache:

Satz 36. Jede ganze Zahl des Körpers $k$ ist gleich einer ganzen rationalen Funktion $(m-1)$-ten Grades der Fundamentalform $\xi$, und zwar sind die Koeffizienten dieser Funktion ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$, dividiert durch die rationale Einheitsform $U$ [Kronecker (16^[2]), Hensel (4^[3])].

§ 12. Die Elemente und die Differente des Körpers. Beweis des Satzes über die Teiler der Körperdiskriminante.

Der Satz 35 gestattet die Zerlegung der Körperdiskriminante $d$ in gewisse ideale Faktoren. Die $m-1$ Ideale

${\begin{aligned}{\mathfrak {e}}'&=\left(\left(\omega _{1}-\omega '_{1}\right),\quad \ \,\ldots ,\,\left(\omega _{m}-\omega '_{m}\right)\right),\\{\mathfrak {e}}''&=\left(\left(\omega _{1}-\omega ''_{1}\right),\quad \ \,\ldots ,\,\left(\omega _{m}-\omega ''_{m}\right)\right),\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\{\mathfrak {e}}^{(m-1)}&=\left(\left(\omega _{1}-\omega _{1}^{(m-1)}\right),\ldots ,\,\left(\omega _{m}-\omega _{m}^{(m-1)}\right)\right)\end{aligned}}$

nenne ich die $m-1$ Elemente des Körpers $k$. Dieselben sind Ideale, welche im allgemeinen dem Zahlkörper $k$ nicht angehören; dagegen ist das Produkt ${\mathfrak {d}}={\mathfrak {e'e''}}\,\ldots {\mathfrak {e}}^{(m-1)}$ ein Ideal^[5] des Körpers $k$. Bedenken wir nämlich, daß die Elemente ${\mathfrak {e}}'$, …‚ ${\mathfrak {e}}^{(m-1)}$ bez. die Inhalte der Formen $\xi -\xi '$, …‚ $\xi -\xi ^{(m-1)}$ sind, so erkennen wir nach Satz 13, daß das Ideal ${\mathfrak {d}}$ den Inhalt von der Differente der Fundamentalform, nämlich von

${\frac {\partial F}{\partial \xi }}=(\xi -\xi ')\ldots (\xi -\xi ^{(m-1)})$

bildet, und diese ist eine Form des Körpers $k$. Das Ideal ${\mathfrak {d}}$ nenne ich die Differente^[6] des Körpers. Die Norm derselben ist gleich dem größten Zahlenfaktor der Diskriminante der Fundamentalform, und, da dieser nach Satz 35 gleich $d$ ist, so folgt der Satz:

Satz 37. Die Norm der Differente des Körpers ist gleich der Diskriminante des Körpers.

Aus der Kongruenz

${\frac {\partial F(x)}{\partial x}}\equiv e\Pi ^{e-1}{\frac {\partial \Pi }{\partial x}}\Pi ^{\prime e'}\cdots +e'\Pi ^{e}\Pi ^{\prime e'-1}{\frac {\partial \Pi '}{\partial x}}\cdots +\cdots$,     $(p)$

folgt ferner, daß die Differente des Körpers stets durch ${\mathfrak {p}}^{e-1}$ teilbar ist, und daß sie jedenfalls dann keine höhere Potenz von ${\mathfrak {p}}$ enthält, sobald der Exponent $e$ zu $p$ prim ist. Durch Übergang zur Norm ergibt sich hieraus, daß die Diskriminante des Körpers stets durch $p^{f(e-1)+f'(e'-1)+\cdots }$ teilbar ist und überdies jedenfalls dann keine höhere Potenz von $p$ enthält, wenn sämtliche Exponenten $e$, $e'$, … zu $p$ prim sind; damit ist zugleich der am Anfang des § 10 aufgestellte Fundamentalsatz 31 bewiesen.

§ 13. Die Aufstellung der Primideale. Der feste Zahlteiler der rationalen Einheitsform $U$.

Die wirkliche Berechnung der in einer rationalen Primzahl $p$ aufgehenden Primideale kann auf Grund des Satzes 33 durch Zerlegung der linken Seite der Fundamentalgleichung ausgeführt werden. Doch ist es von Nutzen zu wissen, unter welchen Umständen hierbei den Parametern $u_{1}$, …, $u_{m}$ in der Fundamentalgleichung spezielle Werte beigelegt werden dürfen. Wir stellen zu dem Zweck die folgenden Betrachtungen an.

Die Diskriminanten aller ganzen algebraischen Zahlen des Körpers erhält man, wenn man in $U^{2}d$ die Parameter $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ alle ganzen rationalen Zahlen durchlaufen läßt. Der größte gemeinsame Teiler aller dieser Diskriminanten braucht nicht mit der Körperdiskriminante $d$ übereinzustimmen, da sehr wohl der Fall eintreten kann, daß die rationale Einheitsform $U$ für alle ganzzahligen Werte der $u_{1}$, …, $u_{m}$ eine Reihe von Zahlen mit einem festen Teiler $\neq \pm 1$ darstellt. Dieser Umstand setzt die Bedeutung des Gebrauchs der Unbestimmten $u_{1}$, …, $u_{m}$ in helles Licht. Man findet auch leicht eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die rationale Primzahl $p$ ein solcher fester Teiler von $U$ ist. Diese Bedingung besteht nämlich darin, daß $U$ in die Gestalt

$pV+(u_{1}^{p}-u_{1})V_{1}+\cdots +(u_{m}^{p}-u_{m})V_{m}$

gebracht werden kann, wo $V$, $V_{1}$, …‚ $V_{m}$‚ ganzzahlige Funktionen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ sind [Hensel (1^[7], 2^[8], 5^[9])].

Wenn es nun möglich ist, den Unbestimmten $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ solche ganzen rationalen Zahlenwerte $a_{1}$, …‚ $a_{m}$ zu erteilen, daß für dieselben die rationale Einheitsform $U$ eine durch $p$ nicht teilbare Zahl wird, so darf bei der Zerlegung der rationalen Primzahl $p$ die Fundamentalgleichung so spezialisiert werden, daß die Form $\xi$ durch $\alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$ ersetzt wird. In der Tat, unter der gemachten Annahme ist, wie leicht aus Satz 36 folgt, jede beliebige ganze Zahl $\omega$ des Körpers einer ganzzahligen Funktion von $\alpha$ nach $p$ kongruent, und es ist daher eine ganzzahlige Funktion von niederem als $m$-tem Grade in $\alpha$ niemals durch $p$ teilbar, wenn nicht ihre Koeffizienten sämtlich durch $p$ teilbar sind. Bezeichnen wir die aus $\Pi (x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$, $\Pi '(x;\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{m})$, … durch die Substitution $u_{1}=a_{1}$, …, $u_{m}=a_{m}$ hervorgehenden Funktionen von $x$ allein mit $P(x)$,$P'(x)$, …, so erkennen wir, daß diese Funktionen im Sinne der Kongruenz nach $p$ voneinander verschiedene Primfunktionen sind, und daß

${\mathfrak {p}}=(p,\,P(\alpha ))$,     ${\mathfrak {p}}'=(p,\,P'(\alpha ))$, …

wird. In der Tat, würde etwa $P(\alpha )$ nach Forthebung des Faktors ${\mathfrak {p}}$ noch einen in $p$ aufgehenden Primfaktor, z. B. ${\mathfrak {p}}'$, enthalten, so wäre

$\left\lbrace P(\alpha )\right\rbrace ^{e}\left\lbrace P'(\alpha )\right\rbrace ^{e'-1}\left\lbrace P''(\alpha )\right\rbrace ^{e''}\cdots \equiv 0$, $(p)$,

was nach obiger Bemerkung nicht der Fall sein kann, da die linke Seite dieser Kongruenz eine Funktion von niederem als $m$-tem Grade in $\alpha$ darstellt.

Umgekehrt gilt die leicht zu beweisende Tatsache: Wenn im Körper $k$ die Zerlegung $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {p}}'^{e'}$ … gilt, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … voneinander verschiedene Primideale bezüglich von den Graden $f$, $f'$, … sind, und wenn man dann diesen Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … ebenso viele ganzzahlige Funktionen $P(x)$‚ $P'(x)$, … der einen Veränderlichen $x$ zuordnen kann, die im Sinne der Kongruenz nach $p$ Primfunktionen bez. von den Graden $f$, $f'$, … und untereinander verschieden sind, so läßt sich stets eine Zahl $\alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$ finden, für welche der zugehörige Wert von $U$ nicht durch $p$ teilbar ist. Die Nichtexistenz solcher voneinander verschiedenen Primfunktionen $P(x)$, $P'(x)$, … im Sinne der Kongruenz nach der rationalen Primzahl $p$ bildet daher eine neue notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Primzahl $p$ als fester Zahlteiler in $U$ auftritt [Dedekind (4^[10])].

Jede der beiden in diesem Paragraphen gefundenen, wesentlich voneinander verschiedenen Bedingungen kann zur Berechnung numerischer Beispiele für Zahlkörper dienen, in deren $U$ wirklich feste Zahlteiler $\neq \pm 1$ der fraglichen Weise enthalten sind [Dedekind (4^[10]), Kronecker (16^[2]), Hensel (1^[7], 2^[8], 5^[9])].

Es ist jedoch zu bemerken, daß die Form $U$ die Eigenschaft, feste Zahlteiler zu enthalten, verliert, wenn man in derselben die Unbestimmten $u_{1}$, …‚ $u_{m}$ alle ganzen algebraischen Zahlen eines geeignet gewählten Zahlkörpers durchlaufen läßt, indem die sämtlichen durch $U$ auf diese Art darstellbaren Zahlen den größten gemeinsamen Teiler $1$ erhalten [Hensel (5^[9])].

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1. Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.
2. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 1]}
3. Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Teiler ihrer Diskriminante. J. Math. 113 (1894).^{[WS 2]}
4. Handbuch der höheren Algebra 2, Teil 3. Deutsch von G. Wertheim. Leipzig 1879.^{[WS 3]}
5. Siehe Seite 93 Zeile 3 v. u. ff.
6. Nach Dedekind „das Grundideal“.
7. Arithmetische Untersuchungen über Diskriminanten und ihre außerwesentlichen Teiler. Inaugural-Dissert. Berlin 1884.^{[WS 5]}
8. Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor. J. Math. 101 u. 103 (1887), (1888).^{[WS 6]}
9. Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen außerwesentlichen Diskriminantenteiler einer Gattung. J. Math. 113 (1894).^{[WS 7]}
10. Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Kongruenzen. Abh. K. Ges. Göttingen 1878.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
2. Hensel, Kurt: Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Theiler ihrer Discriminante, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 61–83 GDZ Göttingen
3. Serret, Joseph Albert^(WP); Wertheim, Gustav (Übers. aus dem Französischen): Handbuch der höheren Algebra. Bd. 2. 2. Aufl. 8+574 S., Leipzig: B. G. Teubner, 1879 GDZ Göttingen
4. Hensel, Kurt: Untersuchung der Fundamentalgleichung einer Gattung für eine reelle Primzahl als Modul und Bestimmung der Theiler ihrer Discriminante, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 61–83 GDZ Göttingen
5. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über Discriminanten und ihre ausserwesentlichen Theiler, Inaugural-Dissertation, 34 S., Berlin: Schade 1884 GDZ Göttingen
6. Hensel, Kurt: Untersuchung der ganzen algebraischen Zahlen eines gegebenen Gattungsbereiches für einen beliebigen algebraischen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 101 (1887), S. 99-141 GDZ Göttingen
   und
   Hensel, Kurt: Ueber die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103 (1888), S. 230-237 GDZ Göttingen
7. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Discriminantentheiler einer Gattung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 130–160 GDZ Göttingen
8. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über Discriminanten und ihre ausserwesentlichen Theiler, Inaugural-Dissertation, 34 S., Berlin: Schade 1884 GDZ Göttingen
9. Hensel, Kurt: Untersuchung der ganzen algebraischen Zahlen eines gegebenen Gattungsbereiches für einen beliebigen algebraischen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 101 (1887), S. 99-141 GDZ Göttingen
   und
   Hensel, Kurt: Ueber die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103 (1888), S. 230-237 GDZ Göttingen
10. Hensel, Kurt: Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Discriminantentheiler einer Gattung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 113 (1894), S. 130–160 GDZ Göttingen

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7.5 Der Relativkörper. →

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