Elektrische Kraft Hertz:151

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
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9. Die Kräfte elektrischer Schwingungen.

In der ebenen Figur, welche durch den Schnitt der Meridianebenen mit den äquidistanten Flächen $Q={\text{constans}}\,$ entsteht, ist die elektrische Kraft dem senkrechten Abstand zweier Linien $Q={\text{constans}}\,$ nur dann umgekehrt proportional, wenn die verglichenen Punkte in gleichem Abstande von der $z\,$-Axe liegen; allgemein gilt die Regel, dass die Kraft umgekehrt proportional ist dem Product aus jenem Abstand und der Coordinate $\varrho \,$ des betrachteten Punktes.

     Neben $\varrho \,$ und $z\,$ führen wir in der Folge noch Polarcoordinaten $r\,$ und $\theta \,$ ein, welche mit jenen verknüpft sind durch die Gleichungen $\varrho =r\sin \theta ,\ z=r\cos \theta .\,$ Es bezeichnet alsdann $r\,$ den Abstand vom Nullpunkt unseres Coordinatensystems.

Die Kräfte um eine geradlinige Schwingung.

     Es sei verstanden unter $E\,$ eine Elektricitätsmenge, unter $l\,$ eine Länge, unter $m=\pi /\lambda \,$ eine reciproke Länge und unter $n=\pi /T\,$ eine reciproke Zeit. Wir setzen nun:

$\Pi =El{\frac {\sin(mr-nt)}{r}}.\,$

     Dieser Werth genügt der Gleichung $A^{2}\,d^{2}\,\Pi /dt^{2}=\Delta \,\Pi ,\,$ sobald wir festsetzen, dass $m/n=T/\lambda =A,\ \lambda /T\,$ also gleich der Lichtgeschwindigkeit sein soll. Und zwar geschieht der angeführten Gleichung Genüge überall, ausser im Nullpunkt des Coordinatensystems.

     Um zu erfahren, welche elektrischen Vorgänge in diesem Punkte der durch $\Pi \,$ gegebenen Kräftevertheilung entsprechen, untersuchen wir seine nächste Umgebung. Wir setzen daher $r\,$ verschwindend gegen $\lambda \,$ und vernachlässigen $mr\,$ gegen $nt\,$. Es wird alsdann $\Pi =-El\sin nt/r.\,$ ^[1] Da nun:

$\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\right)\left({\frac {1}{r}}\right)=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right),\,$

so haben wir:

$X=-d^{2}\,\Pi /dx\,dz,\quad Y=-d^{2}\,\Pi /dy\,dz,\quad Z=-d^{2}\,\Pi /dz\,dz.$

     Die elektrischen Kräfte erscheinen also hier als die Ableitungen eines Potentiales:

$\varphi ={\frac {d\,\Pi }{dz}}=-El\sin nt{\frac {d}{dz}}\left({\frac {1}{r}}\right),\,$

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1. [Siehe Anmerkung 22 am Schluss des Buches].