Elektrische Kraft Hertz:241

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
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13. Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

$(15_{\text{a}})\left\lbrace {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dy}}-{\frac {dY}{dz}}=&0,\\{\frac {dX}{dz}}-{\frac {dZ}{dx}}=&0,\\{\frac {dY}{dx}}-{\frac {dX}{dy}}=&0;\\\end{aligned}}\right.\qquad (15_{\text{b}})\left\lbrace {\begin{aligned}{\frac {dM}{dz}}-{\frac {dN}{dy}}=&4\pi Au,\\{\frac {dN}{dx}}-{\frac {dL}{dz}}=&4\pi Av,\\{\frac {dL}{dy}}-{\frac {dM}{dx}}=&4\pi Aw.\\\end{aligned}}\right.$

$(15_{\text{c}})\ u=\lambda (X-X'),\ v=\lambda (Y-Y'),\ w=\lambda (Z-Z').\,$

Differenziren wir die Gleichungen (15_b) beziehungsweise nach $x,y,z\,$ und addiren sie, so folgt:

$(15_{\text{d}})\,$

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0,$

welche Gleichung an Flächen, an welchen sich die Strömungen sprungweise ändern, die Form annimmt:

$(15_{\text{e}})\,$

$(u_{2}-u_{1})\cos n,x+(v_{2}-v_{1})\cos n,y+(w_{2}-w_{1})\cos n,z=0.\,$

Fügen wir die Gleichungen (15_d) und (15_e) den Gleichungen (15_a) und (15_c) hinzu, so erhalten wir ein System, welches lediglich die elektrischen Kräfte enthält. Dasselbe kann ohne Rücksicht auf die magnetischen Kräfte behandelt werden und giebt uns die Theorie der Stromvertheilung. Sind die Componenten $u,v,w\,$ der Strömung gefunden, so ergiebt uns weiter die Behandlung der Gleichungen (15_b) die von diesen Strömungen ausgeübten magnetischen Kräfte.

15. Vertheilung stationärer Ströme.

     Es erhellt aus den Gleichungen (15_a), dass die Kräfte auch im Innern der durchströmten Leiter noch als die negativen Differentialquotienten einer Function $\varphi ,\,$ des Potentials, dargestellt werden können, welches durch die Bedingung bestimmt ist, dass überall sein muss:

$(15_{\text{f}})\left\lbrace {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\lambda {\frac {d\varphi }{dx}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left(\lambda {\frac {d\varphi }{dy}}\right)+{\frac {d}{dz}}\left(\lambda {\frac {d\varphi }{dz}}\right)=&-{\frac {d}{dx}}\left(\lambda X'\right)\\&-{\frac {d}{dy}}\left(\lambda Y'\right)-{\frac {d}{dz}}\left(\lambda Z'\right).\end{aligned}}\right.$

An der Grenzfläche zweier heterogener Leiter nimmt diese Gleichung die Form an:

$(15_{\text{g}})\left\lbrace {\begin{aligned}&\lambda _{2}\left({\frac {d\varphi }{dn}}\right)_{2}-\lambda _{1}\left({\frac {d\varphi }{dn}}\right)_{1}=-(\lambda _{2}X'_{2}-\lambda _{1}X'_{1})\cos n,x\\&-(\lambda _{2}Y'_{2}-\lambda _{1}Y'_{1})\cos n,y-(\lambda _{2}Z'_{2}-\lambda _{1}Z'_{1})\cos n,z,\end{aligned}}\right.$