Elektrische Kraft Hertz:244

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
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13. Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

wenn wir zur Vereinfachung der Formeln das Element in den Nullpunkt und den Punkt $x'\ y'\ z'\ \,$ in die $xy\,$-Ebene bringen:

$L=0,\ M=0,\ N=Aidx{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy'}}=-{\frac {Aidx}{r^{2}}}\cdot {\frac {y'}{r}},$

welche Formeln der Ampère’schen Regel und dem Biot-Savart’schen Gesetz Ausdruck verleihen.

     Die gefundenen Werthe der Kräfte müssen zufolge der Gleichungen (15_b) überall da, wo die $u,v,w\,$ verschwinden, also überall ausserhalb der durchströmten Leiter ein Potential $\psi \,$ besitzen, dessen negativen Differentialquotienten wir sie gleich setzen können. Rühren die Kräfte nur her von einer einzigen geschlossenen linearen Strombahn, so kann dies Potential dargestellt werden in der Form:

$(16_{\text{b}})\,$

$\psi =-Ai\int {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dn}}d\omega +{\text{constans}},$

worin $dw\,$ das Element einer beliebigen durch die Strombahn gelegten Fläche, $n\,$ die Normale dieser Fläche bedeutet und die Integration über den ganzen von der Strombahn begrenzten Bereich der Fläche zu erstrecken ist. Als positiv ist dabei diejenige Seite der Fläche gerechnet, von welcher aus gesehen der positiv gerechnete Strom im Sinne der Drehung des Uhrzeigers fliesst. Durch bekannte Integraltransformationen werden nämlich die negativen Differentialquotienten des angegebenen Ausdruckes überall in die für $L,M,N\,$ gefundenen Formen gebracht, diese Differentialquotienten sind also überall ausser in der Strombahn selbst endlich und stätig, und wenn auch das in $\psi \,$ enthaltene Integral an der Fläche $\omega \,$ unstätig wird, so kann dem ganzen $\psi \,$ nichtsdestoweniger die erforderliche Stätigkeit verliehen werden, indem wir die darin enthaltene Constante als unendlich vieldeutig betrachten und jedesmal einen um $4\pi Ai,\,$ geänderten Werth derselben benutzen, sobald wir die Fläche $\omega \,$ durchschreiten. Das Potential wird dadurch selbst unendlich vieldeutig und ändert sich um $4\pi Ai,\,$ sobald wir nach einmaliger Umkreisung der Strombahn zum Ausgangspunkte zurückkehren.

     Dem Integralausdruck, welcher in $\psi \,$ vorkommt, können verschiedene Deutungen untergelegt werden. Er kann zunächst