Elektrische Kraft Hertz:269

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
Seite 269
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14. Grundgleichungen für bewegte Körper.

wichtigen Falle, dass die Curve $s\,$ der Bahn eines linearen Leiters folgt und wird nicht ungültig dadurch, dass die Bewegung hinreichend langsam ist, um die entstehenden Zustände beständig als stationäre, den entstehenden Strom als gleichförmig in allen Theilen der Leitung $s\,$ erscheinen zu lassen.

     Um unsere Ueberlegung in Zeichen zu kleiden, nennen wir $n',x,\ n',y,\ n',z\,$ die Winkel, welche in jedem Augenblick die Normale des Elementes $d\omega '\,$ der bewegten Fläche $\omega '\,$ mit den Axen bildet. ${\mathfrak {L'\ M'\ N'}}\,$ seien die Werthe der ${\mathfrak {L\ M\ N}}\,$ in diesem Elemente. Es seien ferner bezeichnet mit $d\omega ,\ n,x,\ n,y,\ n,z,\,$ die Werthe der $d\omega ',\ n',x,\ n',y,\ n',z\,$ in der Anfangslage. Wir beachten, dass wir aus rein geometrischen Gründen haben:

${\frac {d}{dt}}(d\omega '\cos n',x)=d\omega {\Bigg \lbrace }\left({\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\cos n,x-{\frac {d\beta }{dx}}\cos n,y-{\frac {d\gamma }{dx}}\cos n,z{\Bigg \rbrace },$ ${\frac {d}{dt}}(d\omega '\cos n',y)=d\omega {\Bigg \lbrace }-{\frac {d\alpha }{dy}}\cos n,x+\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\cos n,y-{\frac {d\gamma }{dy}}\cos n,z{\Bigg \rbrace },$ ${\frac {d}{dt}}(d\omega '\cos n',z)=d\omega {\Bigg \lbrace }-{\frac {d\alpha }{dz}}\cos n,x-{\frac {d\beta }{dz}}\cos n,y+\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)\cos n,z{\Bigg \rbrace },$

und erhalten also:

${\frac {d\zeta '}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int ({\mathfrak {L}}'\cos n',x+{\mathfrak {M}}'\cos n',y+{\mathfrak {N}}'\cos n',z)d\omega '$ $=\int \left({\frac {d{\mathfrak {L}}}{dt}}+\alpha {\frac {d{\mathfrak {L}}}{dx}}+\beta {\frac {d{\mathfrak {L}}}{dy}}+\gamma {\frac {d{\mathfrak {L}}}{dz}}\right)\cos n,x\ d\omega$ $+\int \left({\frac {d{\mathfrak {M}}}{dt}}+\alpha {\frac {d{\mathfrak {M}}}{dx}}+\beta {\frac {d{\mathfrak {M}}}{dy}}+\gamma {\frac {d{\mathfrak {M}}}{dz}}\right)\cos n,y\ d\omega$ $+\int \left({\frac {d{\mathfrak {N}}}{dt}}+\alpha {\frac {d{\mathfrak {N}}}{dx}}+\beta {\frac {d{\mathfrak {N}}}{dy}}+\gamma {\frac {d{\mathfrak {N}}}{dz}}\right)\cos n,z\ d\omega$ $+\int {\mathfrak {L}}\left({\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\cos n,x\ d\omega -\int {\mathfrak {L}}{\frac {d\beta }{dx}}\cos n,y\ d\omega -\int {\mathfrak {L}}{\frac {d\gamma }{dx}}\cos n,z\ d\omega$ $-\int {\mathfrak {M}}{\frac {d\alpha }{dy}}\cos n,x\ d\omega -\int {\mathfrak {M}}\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)\cos n,y\ d\omega -\int {\mathfrak {M}}{\frac {d\gamma }{dy}}\cos n,z\ d\omega$ $-\int {\mathfrak {N}}{\frac {d\alpha }{dz}}\cos n,x\ d\omega -\int {\mathfrak {N}}{\frac {d\beta }{dz}}\cos n,y\ d\omega +\int {\mathfrak {N}}\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)\cos n,z\ d\omega ;$

demnach unter Zuhülfenahme der Gleichungen (1_a) und (1_b):

${\begin{aligned}A{\frac {d\zeta '}{dt}}=&\int {\bigg \lbrace }\left({\frac {dZ}{dy}}-{\frac {dY}{dz}}\right)\cos n,x+\left({\frac {dX}{dz}}-{\frac {dZ}{dx}}\right)\cos n,y+\left({\frac {dY}{dx}}-{\frac {dX}{dy}}\right)\cos n,z{\bigg \rbrace }d\omega \\=&\int (Xdx+Ydy+Zdz),\end{aligned}}$

das letzte Integral um den Umfang $s\,$ der Fläche $\omega \,$ genommen.