Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 3.

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§. 3. Die Gleichung von Laplace.

 Wir bilden die zweiten partiellen Derivirten der Function $V\,$:

(1)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(a-x)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(b-y)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(c-z)^{2}}{r^{5}}}\right)$.

 Daraus findet sich unmittelbar durch Addition

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

 Diese Gleichung, welche zuerst Laplace*)^[1] gefunden hat, wird nach ihm die Gleichung von Laplace genannt.

 Sie gilt jedoch nur, wenn der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Laplace hielt sie für allgemein gültig. Diesen Irrthum hat Poisson später berichtigt.**)^[2]

 Liegt nemlich der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Massen, so ist für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ des mit Masse erfüllten Raumes die Function ${\frac {1}{r}}$ eine endliche und stetig veränderliche Function von $(x,\,y,\,z)$. Dasselbe gilt von allen ihren De- rivirten. Ebenso sind die Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ des vorigen Paragraphen [Gleichungen (4) und (5)] endliche und stetig veränderliche Functionen von $(x,\,y,\,z)\,$. Sollen von der Function $V\,$ die ersten Derivirten nach $x\,$, nach $y\,$, nach $z\,$ gebildet werden, so darf man die Differentiation unter dem Integralzeichen vornehmen, weil ihr Resultat einen durchaus bestimmten endlichen Werth hat. Darauf beruht die Gültigkeit der Gleichungen (3) des vorigen Paragraphen. Auch die Herstellung der zweiten Derivirten und aller Derivirten höherer Ordnung kann durch Differentiation unter dem Integralzeichen ausgeführt werden, weil die Resultate dieser Differentiation bestimmte endliche Werthe haben, die bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ sich ebenfalls stetig ändern.

 Wenn aber der Punkt $(x,\,y,\,z)\!$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so behalten zwar, wie später (§§. 6. 10.) gezeigt werden soll, die durch die Gleichungen (4) und (5) des §. 2 definirten Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ bestimmte endliche Werthe, und es gelten deshalb auch noch die Gleichungen (3) desselben Paragraphen. Aber die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des gegenwärtigen Paragraphen haben dann gar keine Bedeutung, weil in einem Element der Integration ein unendlich grosser Factor auftritt. Liegt also der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im Innern der anziehenden Masse, so sind die Gleichungen (1) nicht gültig und ebenso wenig die Gleichung (2). Für diesen Fall ist vielmehr eine besondere Untersuchung anzustellen.

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1. *) Théorie des attractions des Sphéroïdes et de la figure des Planètes. Par M. de la Place. (Histoire de l’Académie des Sciences 1782.)
2. **) Bulletin de la société philomatique. Tome 3, Page 368. - Ferner: Poisson. Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement. (Mémoires de l’Académie royale des Sciences de l’Institut de France. Tome 6, Page 463.) - Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes. (Connaissance des temps. 1829. Page 360.)