Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 2.

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§. 2. Die Potentialfunction.

 Wir wollen der Einfachheit wegen $\mu =1\,$ und $k=1\,$ setzen. In dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ soll also die Masseneinheit sich befinden, und das Maass der Kraft ist so gewählt, dass zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung sich mit der Einheit der Kraft anziehen.

 Sind die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt, so hat man für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Kraft die Ausdrücke:

(1)	$X=\sum {\frac {m(a-x)}{r^{3}}},\,$ $Y=\sum {\frac {m(b-y)}{r^{3}}},\,$ $Z=\sum {\frac {m(c-z)}{r^{3}}}.\,$

Das Zeichen $\sum \,$ ist so zu verstehen, dass der dahinter stehende Ausdruck der Reihe nach für jeden einzelnen anziehenden Massenpunkt gebildet und dann die Summirung der sämmtlichen entstehenden Werthe vorgenommen werden soll. Die Gleichungen (1) zeigen, dass $X,\,Y,\,Z$ Functionen von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des Punktes sind, in welchem die angezogene Masse sich befindet. Lagrange hat bemerkt, dass diese Functionen $X,\,Y,\,Z$ sich ausdrücken lassen als die partiellen Derivirten einer einzigen Function von $x,\,y,\,z$. Es ist nemlich

${\frac {\partial r}{\partial x}}=-{\frac {a-x}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}={\frac {a-x}{r^{3}}},\,$ ${\frac {\partial r}{\partial y}}=-{\frac {b-y}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}={\frac {b-y}{r^{3}}},\,$ ${\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {c-z}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}={\frac {c-z}{r^{3}}}.\,$

Wenn also die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sind, so hat man

$X=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},\,$ $Y=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}},\,$ $Z=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}.\,$

Wir bezeichnen mit $V\,$ die Function

(2)	$V=\sum {\frac {m}{r}}.\,$

Dann zeigt sich, dass $X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten von $V\,$ sind:

(3)	$X=\,{\frac {\partial V}{\partial x}},\,$ $Y=\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,$ $Z=\,{\frac {\partial V}{\partial z}}.\,$

Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind endlich und stetig variabel, so lange der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von jedem der anziehenden Massenpunkte sich befindet. Fällt er in einen dieser Punkte hinein, so wird in (1) und in (2) einer der Summanden unendlich gross. Die Function $V\,$ wird dann also unendlich wie ${\frac {1}{r}}$, und ihre ersten Derivirten werden unendlich wie ${\frac {1}{r^{3}}}$.

 Wenn die anziehende Masse einen körperlichen Raum stetig ausfüllt, so lauten die Ausdrücke für die Componenten der Anziehung:

(4)	$X=\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Y=\iiint {\frac {b-y}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Z=\iiint {\frac {c-z}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc.\,$

Auch hier sind $\,X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten einer Function $V\,$, und es gelten die Gleichungen (3). Die Function $V\,$ ist aber in diesem Falle

(5)	$V=\iiint {\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r}}.\,$

Die Grenzen der Integration in (4) und (5) sind dieselben wie in den Ausdrücken (10) des vorigen Paragraphen.

 Die Function $V\,$, welche durch die Gleichung (2), resp. durch die Gleichung (5) definirt wird, nennt man die Potentialfunction des anziehenden Massensystems auf den angezogenen Punkt.

 Es ist nun leicht, den Satz in Worte zu fassen, der sich in den Gleichungen (3) ausspricht. Er lautet:

 Soll die Componente der Anziehung in der Richtung einer der Coordinatenaxen berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervorgehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Bisher ist über die Lage des Coordinatensystems keine besondere Voraussetzung gemacht. Man kann die Axen legen, wie man will. Handelt es sich also um die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung, so braucht man nur ein Coordinatensystem zu Hülfe zu nehmen, von welchem eine Axe dieser Richtung parallel gelegt ist. Auf diese Weise gelangt man zu dem erweiterten Satze:

 Soll die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervor- gehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Der Fall, dass die anziehende Masse in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt ist, wird in der Folge nur ausnahmsweise vorkommen. Bis auf weiteres halten wir die Voraussetzung fest, dass sie einen körperlichen Raum stetig ausfüllt.

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