Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 53.

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§. 53. Fortsetzung: Bewegung der Kugeln.

 Wir kehren zurück zu der Voraussetzung, dass die Entfernung der Kugelmittelpunkte grösser ist als die Summe der Radien:

$c>a+b.\,$

Wir setzen zur Abkürzung:

(1)	$-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}}=E_{1},$

(2)	$ab\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{c(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{2},$

(3)	$-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{3},$

(4)	$M_{1}+M_{4}={\mathfrak {M}}_{1},\,$

(5)	$M_{2}+M_{3}={\mathfrak {M}}_{2}\,$

und machen die Bemerkung, dass ${\mathfrak {M}}_{1}\,$ die gesammte Ladung der ersten, ${\mathfrak {M}}_{2}$ die gesammte Ladung der zweiten Kugel ist. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (8), (9), (10), (11) des §.50 und (5), (6), (7), (8) des §. 51 haben wir dann

(6)	${\mathfrak {M}}_{1}=g\,E_{1}+h\,E_{2},$

(7)	${\mathfrak {M}}_{2}=g\,E_{2}+h\,E_{3}.$

Hieraus berechnet sich

(8)	$g={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}E_{3}-{\mathfrak {M}}_{2}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}},\,$

(9)	$h={\frac {{\mathfrak {M}}_{2}E_{1}-{\mathfrak {M}}_{1}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}}.\,$

Dabei ist zu beachten, dass ${\mathfrak {M}}_{1}$ und ${\mathfrak {M}}_{2}$ gegebene constante Grössen sind. $E_{1},E_{2}\!$ und $E_{3}\!$ hängen ab von $a,\,b,\,c$ und den Wurzeln $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$ der Gleichung (18) des §. 49. Diese Wurzeln sind aber selbst abhängig von $a,\,b,\,c$. Da nun $a\!$ und $b\!$ constant sind und nur der Abstand $c\!$ der Kugelmittelpunkte sich ändern kann, so sieht man, dass $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$ und folglich auch $g\!$ und $h\!$ Functionen von $c\!$ sind.

 Um die Bewegung der Kugeln zu untersuchen, hat man das Potential der gesammten Elektricitätsmenge auf sich selbst auszudrücken. Man erhält nach §.47, (4):

(10)	$P={\frac {1}{2}}\int Vd\varepsilon ,$

wenn das Integral über die Oberfläche beider Kugeln erstreckt wird. Es ist aber $V=g\!$ auf der ersten, $V=h\!$ auf der zweiten Kugel. Ferner ergibt sich durch Integration über die erste Kugel:

$\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{1};$

und durch Integration über die zweite Kugel:

$\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{2}.$

Folglich ist

$P={\frac {1}{2}}\,g\,{\mathfrak {M}}_{1}+{\frac {1}{2}}\,h\,{\mathfrak {M}}_{2},$

und wenn man aus (8) und (9) die Werthe von $g\!$ und $h\!$ einführt:

(11)	$P={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}^{2}\,E_{3}-2{\mathfrak {M}}_{1}\,{\mathfrak {M}}_{2}\,E_{2}+{\mathfrak {M}}_{2}^{2}\,E_{1}}{2(E_{1}\,E_{3}-E_{2}^{2})}}.\,$

 Aendert sich der Abstand der Kugelmittelpunkte um $dc\!$, so wird die dabei geleistete Arbeit ausgedrückt durch

${\frac {dP}{dc}}\,dc.$

Die Kugeln wirken also auf einander ebenso, als ob ihre Mittelpunkte sich mit der Kraft

${\frac {dP}{dc}}$

abstiessen.*)^[1]

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1. *) Die Aufgabe der §§. 48 bis 53 hat zuerst Poisson mathematisch behandelt in zwei Aufsätzen, welche unter den Mémoires de l'institut de France 1811 abgedruckt sind. Ferner sind zu citiren:
    Plana. Sur la distribution de l'électricité à la surface de deux sphères. (Memorie dell' accademia di Torino. T. 7. 1845.)
    Kirchhoff. Ueber die Vertheilung der Elektricität auf zwei leitenden Kugeln. (Borchardt, Journal Bd. 59. S. 89.)
    Murphy, R. Elementary principles of the theorics of electricity, heat and molecular actions. Part I, Chapter V. Cambridge 1833.
    Thomson, W. On the mutual attraction or repulsion between two electrified spherical conductors. (Philosophical Magazine. Series 5, Vol. IV.)
    Man vergleiche auch die Lehrbücher:
    Riess. Die Lehre von der Reibungs-Elektricität. Bd. 1. Berlin 1853.
    Kötteritzsch. Lehrbuch der Elektrostatik. Leipzig 1872.
    Die oben gegebene Entwicklung ist Riemann’s Eigenthum.
    Die experimentellen Untersuchungen sind zuerst von Coulomb angestellt. (Mémoires de l'Académie de Paris 1785—1788.)