Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 85.

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§. 85. Fortsetzung: Der Ring.

 Der gegebene Körper sei ein Ring, also zweifach zusammenhangend (Fig. 47). Wir zerlegen ihn durch einen Querschnitt $Q\,$ und den äusseren Raum durch einen Querschnitt $S\,$ je in einen einfach zusammenhangenden Raum. Die Begrenzungslinien der Querschnitte $Q\,$ und $S\,$ liegen, wie immer, in der Oberfläche des Ringes. Es sind zwei in sich zurücklaufende Linien, die einander in einem Punkte durchschneiden.

Fig. 47.

Die Begrenzungslinie von $Q\,$ ist so beschaffen, dass jede Fläche, der sie zur vollständigen Begrenzung dient, die Axe des Ringes in einem Punkte schneidet. Die Fläche $S\,$ lässt sich dagegen über ihre Begrenzung so in das Innere des Ringes fortsetzen, dass die Axe desselben ganz in dieser Fortsetzung liegt. Nun kann man auf der Oberfläche des Ringes zwei Systeme von in sich zurücklaufenden Linien ziehen, so dass die Linien eines und desselben Systems von einander völlig getrennt liegen, dagegen jede Linie des ersten Systems die Linien des zweiten Systems in je einem Punkte schneidet. Die Systeme sollen so beschaffen sein, dass je zwei benachbarte Linien desselben Systems einander unendlich nahe liegen, und dass die Begrenzung von $S\,$ zu dem ersten, die Begrenzung von $Q\,$ zu dem zweiten Systeme gehört.

 Wir nehmen zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten des Querschnittes $S\,$ liegen und verbinden sie durch eine Linie, die ganz innerhalb des einfach zusammenhangenden äusseren Raumes verläuft. Diese Linie kann man zur Begrenzung einer Fläche machen, welche die Oberfläche des Ringes in irgend einer Linie des zweiten Systems durchschneidet. Wir stellen uns auf derjenigen Seite der Fläche auf, auf welcher ein positiver Umlauf durch die Begrenzung von der negativen auf die positive Seite von $S\,$ führt. Um die Elektricitätsmenge $J'\,$ zu finden, welche in der Zeiteinheit von unten nach oben durch die eben gelegte Fläche mehr hindurchströmt als von oben nach unten, haben wir nach §. 75 das Integral

${\frac {1}{4\pi }}\int dV$

durch die Begrenzungslinie zu erstrecken, und zwar von der negativen bis auf die positive Seite von $S\,$. Der Werth dieses Integrals ist

${\frac {1}{4\pi }}(V_{+0}-V_{-0}).$

Nun lässt sich aber im äusseren Raume wie im Innern des Ringes

$V=V'+V''\,$

setzen und dabei bemerken, dass im ganzen äusseren Raume

$V'=V,V''=0\,$

ist. Dadurch erhält man die Gleichung

(1)	$J'={\frac {1}{4\pi }}(V'_{+0}-V'_{-0})={\frac {C}{4\pi }}.$

Diese Gleichung würde unverändert bleiben, wenn man überall $V''=0\,$ setzen wollte. Geht also ein Strom, dem die Function $V''\,$ angehört, an einer Stelle durch eine Linie des zweiten Systems hindurch, so tritt er an derselben oder an einer anderen Stelle wieder auf die ursprüngliche Seite zurück. Folglich lassen sich die Linien des zweiten Systems auf der Oberfläche des Ringes (und mit ihnen die Begrenzung des Querschnittes $Q\,$) so zurechtschieben, dass sie zu Strömungslinien der Ströme zweiter Art werden. Ihre Gleichungen sind in der allgemeinen Form enthalten

(2)	$4\pi W''=-V''_{-0}={\text{const.}},\,$

und es bedeutet $V''_{-0}\,$ den Werth der Function $V''\,$ im Innern des Ringes unendlich nahe an seiner Oberfläche.

 Auf demselben Wege findet sich, dass die Linien des ersten Systems, passend angeordnet, Strömungslinien der Ströme erster Art sind. Sie werden festgelegt durch Gleichungen von der Form

(3)	$4\pi W'=V'_{+0}-V'_{-0}=const.,\,$

wobei $V'_{+0}\,$ und $V'_{-0}\,$ die Werthe von $V'\,$ in zwei Punkten sind, die einander unendlich nahe auf der äusseren und der inneren Seite der Ringoberfläche liegen.

 Die magnetischen Wirkungen im äusseren Raume rühren bloss von den Strömen her, die in den Bahnen (3) fliessen. Die Ströme, denen die Strömungslinien (2) angehören, üben im äusseren Raume keine magnetische Wirkung aus.

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