Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 84.

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§. 84. Die Aufgabe des §. 81 für einen mehrfach zusammenhangenden Körper.

 Die Aufgabe des §. 81 soll jetzt unter der Voraussetzung behandelt werden, dass der gegebene Körper $(q+1)\,$ fach zusammenhangend ist.

 Wir zerlegen zunächst den äusseren Raum durch $q\,$ Querschnittsflächen $S_{1},S_{2},\ldots S_{q}\,$ in einen einfach zusammenhangenden und setzen fest, dass alle Verschiebungen, die mit einem Punkte $(x,y,z)\,$ im äusseren Raume vorgenommen werden, völlig innerhalb dieses einfach zusammenhangenden Raumes liegen sollen, d. h. dass keine Verschiebung durch die Oberfläche des gegebenen Körpers oder durch irgend eine der Querschnittsflächen $S_{1},S_{2},\ldots S_{q}\,$ schneidend hindurchgehen darf. Nach §. 79 (4) ist

$X\;dx+Y\;dy+Z\;dz=dV$

an jeder Stelle des äusseren Raumes ein vollständiges Differential. Erstreckt man also das Integral

(1)	$V=\int (X\;dx+Y\;dy+Z\;dz)$

aus unendlicher Entfernung nach dem im äusseren Raume gelegenen Punkte $(x,y,z)\,$, so ist der Werth desselben unabhängig von dem Integrationswege, wenn nur dieser Weg seiner ganzen Erstreckung nach in dem einfach zusammenhangenden äusseren Raume liegt. Die Function $V\,$ ist demnach innerhalb des genannten Raumes eine einwerthige, überall endliche Function des Ortes, deren Werthe bei jeder zulässigen stetigen Verschiebung des Punktes $(x,y,z)\,$ sich stetig ändert.

 Für zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten irgend eines der Querschnitte $S\,$ liegen, hat die Function $V\,$ Werthe von endlicher Differenz. Man findet diese Differenz, indem man das Integral

$\int (Xdx+Ydy+Zdz)$

von dem einen Punkte nach dem andern hin längs eines Integrationsweges erstreckt, welcher völlig innerhalb des einfach zusammenhangenden äusseren Raumes liegt. Für einen und denselben Querschnitt ist die Differenz

$V_{+0}-V_{-0}\,$

constant, an welcher Stelle dieses Querschnittes man auch die beiden unendlich nahe gelegenen Punkte nehmen möge. Denn zieht man längs eines Querschnittes zwei einander unendlich nahe gelegene Linien, die eine auf der positiven, die andere auf der negativen Seite des Querschnittes, so habe in irgend einem Punkte der einen Linie die Componenten $X,Y,Z\,$ resp. dieselben Werthe wie in dem unendlich nahe gelegenen Punkte der andern Linie.

 Die $q\,$ constanten Werthe, welche die Differenz

$V_{+0}-V_{-0}\,$

zu beiden Seiten der Querschnitte $S_{1},S_{2},\ldots S_{q}\,$ besitzt, sind nach der Natur der Aufgabe bekannt. Wir wollen sie mit $C_{1},C_{2},\ldots C_{q}\,$ bezeichnen.

 Soll nun die Function gemäss den Bedingungen (1) und (2) des §. 81 in das Innere des gegebenen Körpers fortgesetzt werden, so kann man dazu genau den dort eingeschlagenen Weg wieder durchmachen. Aber die Function, welche sich dabei ergibt (sie soll hier mit $V'\,$ bezeichnet werden), ist nicht mehr die einzige Lösung der Aufgabe. Man kann nemlich noch eine Function $V''\,$ hinzufügen, welche $q\,$ willkürliche constante Grössen $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ als lineär auftretende Factoren enthält. Wir stellen durch $q\,$ Querschnittsflächen $Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{q}\,$ im Innern des gegebenen Körpers einfachen Zusammenhang her, und gehen darauf aus, die Function $v_{\mu }\,$ den folgenden Bedingungen gemäss zu bestimmen. Es soll

(2)	${\frac {\partial ^{2}v_{\mu }}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v_{\mu }}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v_{\mu }}{\partial z^{2}}}=0$

sein im ganzen Innern. Es soll

(3)	${\frac {\partial v_{\mu }}{\partial n}}=0$

sein für jeden Punkt der Oberfläche dos $q\,$fach zusammenhangenden Körpers. Dabei ist mit $n\,$ die nach innen gezogene Normale dieses Punktes gemeint. Es soll

(4)	$(v_{\mu })_{+0}-(v_{\mu })_{+0}=1\,$

sein für je zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten des Querschnittes $Q_{\mu }\,$ liegen. Es soll endlich für denselben Querschnitt

(5)	$\left({\frac {\partial v_{\mu }}{\partial P}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial v_{\mu }}{\partial P}}\right)_{-0}$

sein, wenn wir mit $P\,$ eine Strecke bezeichnen, die von einem Punkte des Querschnittes $Q_{\mu }\,$ aus auf der Normale abgetragen ist, positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite.

 Im Uebrigen soll die Function $v_{\mu }\,$ nebst ihren Derivirten überall endlich und stetig variabel sein innerhalb des ganzen $q\,$fach zusammenhangenden Raumes, in welchen der gegebene $(q+1)\,$fach zusammenhangende Körper durch den Querschnitt $Q_{\mu }\,$ verwandelt wird.

 Diese Aufgabe ist im §. 60 gelöst. Man braucht nur die dort vorkommende Grösse $k\,$ zu beiden Seiten des Querschnittes $Q_{\mu }\,$ und durch den ganzen Körper hindurch constant zu nehmen. Es ist ferner bewiesen, dass die Aufgabe nur eine Lösung zulässt. Nimmt man jetzt der Reihe nach $\mu =l,2,\ldots q\,$, so erhält man $q\,$ verschiedene Functionen

$v_{1},v_{2},v_{3},\ldots v_{q},\,$

bei denen die Gleichungen (2), (3), (4), (5) erfüllt sind. Die in (4) vorgeschriebene Unstetigkeit tritt für jede Function nur an einem der Querschnitte $Q_{1},Q_{2},Q_{3},\ldots Q_{q}\,$ ein und für jede an einem besondern.

 Wir setzen nun

(6)	$V''=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\ldots +c_{q}v_{q}\,$

im Innern des gegebenen Körpers. Da die im äusseren Raume gegebene Function $V\;$ bei der Herstellung von $V'\;$ nach §. 81 ihren Einfluss (wenn man sich so ausdrücken darf) bereits völlig geltend gemacht hat, so muss jetzt nothwendig für den äusseren Raum

(7)

$V''=0\;$

genommen werden. Dann genügt die Function

(8)	$V=V'+V''\,$

den folgenden Bedingungen. Sie stimmt im ganzen äusseren Räume mit der dort gegebenen Function $V\,$ überein. Sie erfüllt im äusseren Raume wie im Inneren des gegebenen Körpers die partielle Differentialgleichung (2). Für jeden Punkt in der Oberfläche des $(q+1)\,$fach zusammenhangenden Körpers ist

(9)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}.\,$

Beim Durchgange durch die Querschnitte $Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{q}\,$ von der negativen auf die positive Seite ändert sich die Function $V\,$ sprungweise um die constanten Grössen $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$. Uebrigens ist sie nebst ihren ersten Derivirten endlich und stetig variabel im Innern des einfach zusammenhangenden Körpers, welcher durch die Querschnitte $Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{q}\,$ zu Stande gebracht ist. Für zwei unendlich nahe gelegene Punkte auf verschiedenen Seiten des Querschnitts $Q\,$ hat die Derivirte in der Richtung der wachsenden Normale denselben Werth.

 Da die Coefficienten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ völlig willkürlich sind, so gibt es in der Oberfläche eines mehrfach zusammenhangenden Körpers unendlich viele verschiedene Stromvertheilungen, von denen jede die im äusseren Raume vorgeschriebenen magnetischen Wirkungen hervorbringt.

 Hat man ein bestimmtes System von Constanten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ angenommen, so ergeben sich die Strömungslinien und die Stromintensitäten durch Anwendung des in §. 82 entwickelten Verfahrens. Man hat dabei zweierlei Arten von Strömen zu unterscheiden. Setzt man nemlich die sämmtlichen Constanten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ gleich Null, woraus auch $V''=0\,$ folgt, so erhalt man eine einzige Anordnung von Strömen, von denen allein die äusseren magnetischen Wirkungen herrühren. Setzt man dagegen $V'=0\,$, so erhält man für jedes bestimmte System von Constanten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ eine Stromvertheilung, von der im äusseren Raume gar keine magnetischen Wirkungen ausgeübt werden. Es geht dies unmittelbar aus der Gleichung (7) hervor. Wir wollen den einfachsten Fall, nemlich $q=1\,$, im nächsten Paragraphen noch näher betrachten.

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