Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 93.

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§. 93. Die Volta-Induction. Neumann’s Gesetz.

 Wir betrachten insbesondere die Volta-Induction für den Fall, dass die beiden Stromleiter lineär sind. In dem einen Leiter sei ein Strom von der Intensität $J\!$, in dem anderen von der Intensität $J'\!$ vorhanden. Um das Gesetz der Volta-Inductiun zu erforschen, untersuchen wir zunächst nach Anleitung des §. 90 die geleistete elektrodynamische Arbeit. Wir müssen deshalb von constanten Strömen ausgehen. Denn für solche constante Ströme haben wir in den §§. 88 bis 91 eine Function $P\!$ hergestellt, deren Aenderung die elektrodynamische Arbeit angibt, welche bei einer unendlich kleinen Verschiebung der Stromleiter geleistet wird. Ein lineärer constanter Strom ist ein solcher, dessen Stromintensität constant ist. Unter einem nichtlineären constanten Strome wollen wir einen solchen verstehen, bei welchem an jeder Stelle des Leiters die specifische Stromintensität von der Zeit $t\!$ unabhängig ist.

 Für zwei lineäre constante Ströme gehen wir auf die Gleichung (5) des §.90 zurück, nemlich:

(1)	$P=-J\,J'\,Q.$

Dabei haben wir mit $Q\!$ den Factor bezeichnet, welcher nur von der Gestalt und der gegenseitigen Lage der Leiter abhängt, nemlich:

(2)	$Q={\frac {1}{2}}\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}.$

Die während des Zeitelementes von $t\!$ bis $t+dt\!$ verrichtete elektrodynamische Arbeit ist

(3)	$=-J\,J'\cdot {\frac {dQ}{dt}}dt,$

d. h. gleich dem Zuwachs, welchen $P\!$ in jenem Zeitelement erleidet, insofern $J\!$ und $J'\!$ constant genommen werden. Diese Arbeit wird geleistet durch die Wechselwirkung der in dem einen und in dem anderen Leiter in Strömung begriffenen elektrischen Theilchen. Sie ist aber nicht die einzige Arbeit, welche vermöge der Wechsel- wirkung der beiden galvanischen Ströme während des Zeitelementes $dt\!$ geleistet wird, sondern es kommt, wie wir sehen werden, noch elektromotorische Arheit hinzu.

 Vorab ist es wichtig zu bemerken, dass unter Umständen die in dem Zeitelement von $t\!$ bis $t+dt\!$ verrichtete elektrodynamische Elementararbeit selbst dann noch durch (3) ausgedrückt wird, wenn die Stromintensitäten $J\!$ und $J'\!$ nicht constant sind. Wir wollen $J\!$ und $J'\!$ variabel nehmen, aber die Annahme machen, dass zu jeder Zeit die Zunahmen von $J\!$ und $J'\!$, welche während des nächstfolgenden Zeitelementes $dt\!$ zu Stande kommen, unendlich klein sind. In diesem Falle darf man nemlich die Zunahmen von $J\!$ und $J'\!$ so auffassen, als ob sie in dem Moment nach Ablauf jenes Zeitelementes plötzlich zu Stande kämen. Dann gelten während des Zeitintervalles von $t\!$ bis $t+dt\!$ die Stromintensitäten $J\!$ und $J'\!$ als constant, und die während des genannten Zeitintervalles geleistete elektrodynamische Elementararbeit wird in der That wieder durch (3) ausgedrückt.

 Wir wollen jetzt darauf ausgehen, den Begriff des Potentials zu erweitern. Bis dahin haben wir unter dem Potential eine Function verstanden, welche nur von den Coordinaten der bewegten Theilchen abhängig ist, deren Ausdruck die Zeit $t\!$ explicite nicht enthält, und deren Differenz für eine Anfangslage und eine Endlage der bewegten Theilchen die Arbeit angibt, welche bei der Ueberführung aus der Anfangs- in die Endlage geleistet ist. Bei dem Vorhandensein eines Potentials ist dann also die geleistete Arbeit nur abhängig von der Anfangs- und der Endlage der Theilchen und unabhängig von den Wegen, die aus der Anfangs- in die Endlage führen. Es gilt der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft.

 Der Begriff des Potentials soll nun unter Beibehaltung der wesentlichen Bedeutung dieser Function dahin erweitert werden, dass sie ausser von den Coordinaten auch noch von den Geschwindigkeiten der bewegten Theilchen abhängig sein soll, dass aber ihr Ausdruck nach wie vor die Zeit $t\!$ explicite nicht enthält. In diesem Falle ist die Arbeit, welche bei der Ueberführung aus der Anfangs- in die Endlage geleistet worden, allein abhängig erstens von der Anfangs- und der Endlage der Theilchen und zweitens von ihren Anfangs- und Endgeschwindigkeiten. Sie ist aber unabhängig von den durchlaufenen Wegen und von den Geschwindigkeiten während dieses Laufs. Es gilt wieder der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft.

 Die elektrodynamische Arbeit, welche bei veränderlichen Stromintensitäten in dem Zeitintervall von 0 bis $t\!$ geleistet wird, ist

$-\int \limits _{0}^{t}J\,J'{\frac {dQ}{dt}}dt.$

Diese Arbeit setzt sich durch Summirung aus allen Elementararbeiten zusammen. Die Summe ist aber nicht bloss abhängig von der Anfangs- und Endlage und von den Anfangs- und Endgeschwindigkeiten der Theilchen. Wenn also die elektrodynamische Arbeit die einzige Arbeit wäre, welche durch die Wechselwirkung der beiden galvanischen Ströme geleistet würde, so wäre bei veränderlichen Stromintensitäten kein Potential vorhanden, und es wäre der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft nicht gültig.

 Nun ist aber schon hervorgehoben, dass vermöge der Wechselwirkung der beiden galvanischen Ströme auch noch elektromotorische Arbeit verrichtet wird, nemlich die Arbeit, durch welche die Inductionsströme in beiden Leitern zu Stande kommen. Diese Arbeit zu erforschen, ist unsere eigentliche Aufgabe.

 Wir wollen annehmen, die gesammte Arbeit, welche vermöge der Wechselwirkung der beiden Ströme geleistet wird, sei so beschaffen, dass (in dem erweiterten Sinne des Wortes) ein Potential vorhanden ist. Mit anderen Worten: wir stellen die Hypothese auf, dass bei den Bewegungen, welche auf der Wechselwirkung der beiden Ströme beruhen, der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in Gültigkeit sei.

 Dann muss die im Zeitelement $dt\!$ verrichtete elektromotorische Arbeit, von der die Inductionsströme herrühren, zu der Arbeit (3) hinzugefügt, eine Summe geben, die ein vollständiges Differential ist, und zwar das vollständige Differential einer Function, die explicite nur von den Coordinaten und von den Geschwindigkeiten der bewegten elektrischen Theilchen abhängig ist.

 Der verlangte Beitrag zu dem Ausdrucke (3) ist

(4)	$J{\frac {d(J'\,Q)}{dt}}dt+J'{\frac {d(J\,Q)}{dt}}dt.$

Die Summe der beiden Ausdrücke (3) und (4) ist das vollständige Differential der Function

(5)	$D_{1}=J\,J'\,Q,$

welche der Function $P\!$ entgegengesetzt gleich ist.

 Der Beitrag (4) besteht aus zwei Theilen, von denen jeder als elektromotorische Arbeit aufzufassen ist. Es lässt sich leicht zeigen, dass der erste Bestandtheil die elektromotorische Arbeit im ersten Leiter und der zweite Bestandtheil die elektromotorische Arbeit im zweiten Leiter ausdrückt.

 Wir dürfen nemlich nicht vergessen, dass auch von den äusseren elektromotorischen Kräften und von den Kräften der freien Elektricität Arbeit geleistet wird. Bezeichnen wir mit $E\!$ und $E'\!$ die Integralwerthe dieser elektromotorischen Kräfte resp. für den ersten und zweiten Leiter, und beachten, dass hier die Gleichung (7) des §. 61 Gültigkeit hat, so findet sich die ganze elektromotorische Arbeit, welche in dem Zeitintervall von $t\!$ bis $t+dt\!$ geleistet wird:

$=J\left\lbrace E+{\frac {d(J'\,Q)}{dt}}\right\rbrace dt+J'\left\lbrace E'+{\frac {d(J\,Q)}{dt}}\right\rbrace dt.$

Dieser Ausdruck ist leicht zu interpretiren. Es ist

$E+{\frac {d(J'\,Q)}{dt}}$

der Integralwerth der gesammten elektromotorischen Kraft im ersten Leiter, und

$E'+{\frac {d(J\,Q)}{dt}}$

hat dieselbe Bedeutung für den zweiten Leiter. Von $E\!$ und resp. $E'\!$ rühren die beharrlichen Ströme her. Folglich ist

(6)	${\frac {d(J'\,Q)}{dt}}$

der Integralwerth der elektromotorischen Kraft für den Inductionsstrom im ersten Leiter, und es ist

(7)	${\frac {d(J\,Q)}{dt}}$

der Integralwerth der elektromotorischen Kraft für den Inductionsstrom im zweiten Leiter.

 Darin spricht sich das von Neumann*)^[1] aufgestellte Gesetz der Volta-Induction für zwei geschlossene lineäre Leiter aus. Die Erfahrung hat dasselbe als richtig bestätigt.

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1. *) Neumann, F. E. Allgemeine Gesetze der inducirten elektrischen Ströme. — Ueber ein allgemeines Princip der mathematischen Theorie inducirter elektrischer Ströme. (Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1845. S. 1. 1847. S. 1.)