Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 95.

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§. 95. Der erweiterte Satz von Lagrange: $\delta \int \limits _{0}^{t}(T-D+S)dt=0$.

 Wir betrachten ein System von bewegten materiellen Theilchen. Es sei $T\!$ die lebendige Kraft dieses Systems. Der Ausdruck für die zur Zeit $t\!$ geleistete Arbeit (das Potential) möge in zwei Theile zerlegt werden

$S+D,\,$

so dass $S\!$ nur von den Coordinaten der Theilchen abhängig ist, $D\!$ ausserdem noch von den Geschwindigkeiten. Wir bezeichnen mit $x,\,y,\,z$ die Coordinaten irgend eines der materiellen Punkte und schreiben zur Abkürzung ${\frac {dx}{dt}}=x',{\frac {dy}{dt}}=y',{\frac {dz}{dt}}=z'$, und entsprechend die zweiten Derivirten. Die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ wirkenden Kraft seien $X,\,Y,\,Z$. In dem Zeitelement $dt\!$, nach Ablauf der Zeit $t\!$, wird die Arbeit geleistet

(1)	$\sum (X\,x'+Y\,y'+Z\,z')dt.$

Die Summirung ist über sämmtliche Punkte auszudehnen. Diese Arbeit ist gleich dem Zuwachs, welchen das Potential in dem Zeitelement $dt\!$ erleidet:

(2)	$\sum (X\,x'+Y\,y'+Z\,z')dt=\left({\frac {dS}{dt}}+{\frac {dD}{dt}}\right)dt.$

Nun haben wir aber

(3)	${\frac {dS}{dt}}=\sum \left(x'{\frac {\partial S}{\partial x}}+y'{\frac {\partial S}{\partial y}}+z'{\frac {\partial S}{\partial z}}\right)$

(4)

${\begin{aligned}{\frac {dD}{dt}}&=\sum \left(x'{\frac {\partial D}{\partial x}}+y'{\frac {\partial D}{\partial y}}+z'{\frac {\partial D}{\partial z}}\right)\\&+\sum \left(x''{\frac {\partial D}{\partial x'}}+y''{\frac {\partial d}{\partial y'}}+z''{\frac {\partial D}{\partial z'}}\right).\\\end{aligned}}$

Aus der Gleichung (2) geht hervor, dass in ${\frac {dS}{dt}}+{\frac {dD}{dt}}$ kein Glied vorkommen darf, das nicht eine von den Geschwindigkeits-Componenten als Factor enthielte. Die Derivirte ${\frac {dS}{dt}}$ genügt dieser Bedingung. Damit dasselbe mit ${\frac {dD}{dt}}$ der Fall sei, darf in $D\!$ kein Glied vorhanden sein, in welchem die Geschwindigkeiten nur in der ersten Potenz aufträten. Denn dadurch würde der zweite Bestandttheil von ${\frac {dD}{dt}}$ mit Gliedern behaftet sein, die von $x',\,y',\,z'$ frei wären. Man sieht also, dass in $D\!$ die Grössen $x',\,y',\,z'$ mindestens in der zweiten Potenz enthalten sein müssen.

 Am einfachsten nehmen wir für $D\!$ eine homogene Function zweiten Grades von $x',\,y',\,z'$, also

(5)	$D=\sum _{ij}{\begin{Bmatrix}A_{ij}\,x_{i}'\,x_{j}'&+B_{ij}\,y_{i}'\,y_{j}'&+C_{ij}\,z_{i}'\,z_{j}'\\+2D_{ij}\,z_{i}'\,x_{j}'&+2E_{ij}\,x_{i}'\,y_{j}'&+2F_{ij}\,y_{i}'\,z_{j}'\end{Bmatrix}}.$

Die Coefficienten $A_{ij}\ldots F_{ij}\!$ sind Functionen der Coordinaten sämmtlicher Punkte. Die Derivirte ${\frac {dD}{dt}}$ besteht dann aus einer homogenen Function dritten Grades von $x',\,y',\,z'$ und einer homogenen Function ersten Grades derselben Variabeln und die auftretenden Coefficienten sind Functionen der Coordinaten $x,\,y,\,z$. Nun hat aber die homogene lineare Function von $x',\,y',\,z'$, welche in ${\frac {dD}{dt}}$ vorkommt, ebenso wie die Function ${\frac {dS}{dt}}$, von selbst schon die Form (1) und lässt sich in keiner andern Weise in diese Form bringen. Dagegen kann man die in ${\frac {dD}{dt}}$ auftretende Function dritten Grades in sehr mannigfaltiger Weise in die Form (1) bringen. Aus dem Ausdruck für die Arbeit sind also die bewegenden Kräfte nicht völlig bestimmt.

 Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft spricht sich aus in der Formel

$T-S-D={\text{const.}}\,$

Wir fragen nun, wie die Bewegung vor sich gehen müsse, damit dieser Satz in Gültigkeit sei.

 Zur Beantwortung dieser Frage haben wir einen Fingerzeig im §. 43. Dort ist bewiesen:

 Wenn $P\!$ nur von den Coordinaten $q_{1},\,q_{2},\ldots$ abhängig ist und der Ausdruck dieser Function die Zeit $t\!$ explicite nicht enthält, wenn ferner $T\!$ eine homogene Function zweiten Grades von $q_{1}',\,q_{2}',\ldots$ ist, so ist

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0$

die nothwendige und hinreichende Bedingung, damit

$T-P={\text{const.}}\!$

sei.

 Hier ist nun $S\!$ eine Function nur von den Coordinaten $x,\,y,\,z,\ldots$, eine Function, deren Ausdruck die Zeit $t\!$ explicite nicht enthält, es ist $T-D\!$ eine homogene Function zweiten Grades von $x',\,y',\,z',\ldots$ Folglich können wir ohne weiteres den Satz des §. 43 anwenden, der jetzt so lautet:

 Wenn die Bewegung so vor sich gehen soll, dass der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft

(6)	$T-S-D={\text{const.}}\!$

in Gültigkeit ist, so ist die nothwendige und hinreichende Bedingung zu erfüllen:

(7)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T-D+S)dt=0.$

Diese Bedingung führt auf Differentialgleichungen von der Form (6) des §. 42. Man hat dort für unsern vorliegenden Fall nur $T-D\!$ statt $T\!$ und $S\!$ statt $P\!$ zu schreiben.

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