Schwere, Elektricität und Magnetismus:032

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 5.

und ebenso die Ausdrücke für die gleichnamigen Derivirten in (3) und in (4). Obgleich also die Function $V\,$ durch zwei ganz verschiedene analytische Ausdrücke dargestellt wird, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Masse liegt, so hat sie doch überall einen endlichen Werth, der sich stetig ändert, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ sich stetig bewegt, auch dann noch, wenn er durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht. Dasselbe gilt von den ersten Derivirten ${\frac {\partial \;V}{\partial x}},{\frac {\partial \;V}{\partial y}},{\frac {\partial \;V}{\partial z}}$. Es gilt aber nicht von den zweiten Derivirten. Man erhält nemlich für $s<q\,$.

(5)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\;\partial y}}=0.$

 Dagegen ergibt sich für $s>q\,$:

(6)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {yz}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3y^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {zx}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3z^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {xy}{s^{5}}},$

 Hier geben auch für $s=q\,$ die Ausdrücke der gleichnamigen Derivirten in (5) und in (6) nicht dieselben Werthe. Die zweiten Derivirten von $V\,$ ändern sich also sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht.

 Zu bemerken ist noch, dass für $s>q\,$ sich ergibt

(7)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Dies ist die Gleichung von Laplace, die wir für einen Punkt ausserhalb der anziehenden Masse bereits allgemein bewiesen haben.

 Für $s<q\,$, d. h. wenn der angezogene Punkt innerhalb der anziehenden Kugel liegt, erhalten wir