Schwere, Elektricität und Magnetismus:083

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt.

Der Satz von Green.

§. 19. Hülfssatz aus der Analysis.

 Wir schalten einen Hülfssatz ein, der häufig in Anwendung kommt.

 Es sei $T\,$ ein vollständig begrenzter Raum und $F\,$ eine Function von $x,\,y,\,z$, die im Innern des Raumes $T\,$ an jeder Stelle einen endlichen, bestimmten Werth hat und bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,x)$ sich stetig ändert. Wir wollen das Integral

(1)	$J=\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$

über den ganzen Raum $T\,$ erstrecken. Die Coordinaten-Ebenen mögen so gelegt sein, dass jedem Punkte im Innern und in der Oberfläche von $T\,$ positive Coordinaten $x,\,y,\,z\,$ angehören, In der $yz\,$Ebene zeichnen wir ein Rechteck, dessen einer Eckpunkt, dem Anfangspunkte zunächst gelegen, die Coordinaten $0,\,y,\,z$ hat, und dessen Seiten von der Länge $dy,\,dz$ parallel den Axen liegen. (Fig. 11.) Ueber diesem Rechteck als Grundfläche errichten wir ein Prisma, dessen Kanten zu der Axe der $x\,$ parallel laufen. Der Punkt $(0,\,y,\,z)$ sei so gewählt, dass das Prisma den Raum $T\,$ durchschneide. Es sind dann ebenso viele Austritts- wie Eintrittsstellen vorhanden, und zwar findet abwechselnd Ein- und Austritt statt. Wir bezeichen mit $x_{1},x_{3},...\,x_{2m-1}$ Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo die im Punkte $(0,\,y,\,z)$ errichtete Kante des Prisma in den Raum $T\,$ eintritt, und mit $x_{2},x_{4},...\,x_{2m}$die Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo sie austritt. Diese Abscissen sind nach ihrer Grösse geordnet:

$x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots x_{2m-1}<x_{2m}.$