Schwere, Elektricität und Magnetismus:093

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 79
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Herstellung von $V\,$ im Innern eines Raumes.

und es bleiben für $t=0\,$ die Functionen $V_{1}\!$ und $\,{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}}\,$ endlich und stetig. Daraus folgt

$\lim \int \limits _{0}^{2\pi }t\;V_{1}{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi =0,\,$ $\lim \int \limits _{0}^{2\pi }t\;U{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}}d\varphi =0.\,$

 Betrachten wir in einem und demselben Querschnitte zwei einander diametral gegenüberliegende Punkte der cylindrischen Fläche, so zeigt sich, dass in ihnen $\lg \;t$ gleiche Werthe besitzt, dagegen ${\frac {\partial U}{\partial t}}$ entgegengesetzte Werthe, wenn $t\!$ unendlich klein genommen wird. Also heben sich in dem Integral

$-2\int \limits _{0}^{2\pi }t\;\rho \;\lg \;t{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi$

je zwei Elemente auf, und man erhält

$\lim 2\int \limits _{0}^{2\pi }t\;\rho \;\lg \;t{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi =0$ für $t=0.\,$

 Demnach bleibt von dem Oberflächen-Integral nur noch der Bestandtheil

$\lim \int \limits _{0}^{s_{1}}ds\int \limits _{0}^{2\pi }t\;{\frac {2\rho }{t}}\,U\;d\varphi =2\;\pi \int \limits _{0}^{s_{1}}2\rho \;U\;ds$

übrig. Beachtet man also, dass

$-2\rho =\lim {\left(t\;{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)}_{0}$

ist, so ergibt sich

(5)	$-2\pi \int \limits _{0}^{s_{1}}U\;ds\cdot \lim \left(t\;{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{0}$

als der Beitrag, welcher auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt. Die Integration in (5) ist über die Linie zu erstrecken, in welcher die Function $V\,$ unstetig wird.