Schwere, Elektricität und Magnetismus:094
Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus | ||
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Es werde endlich drittens die Function in einem Punkte unstetig. Dies tritt ein, wenn in dem fraglichen Punkte eine endliche Masse concentrirt ist. Wir machen ihn zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius . Mit soll das Flächenelement auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet werden. Dann lautet der Beitrag, welcher jetzt zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt:
Es ist aber hier
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und es bleiben und endlich und stetig für . Folglich erhalten wir
wenn mit der Werth von in dem Unstetigkeitspunkte der Function bezeichnet wird. In diesem letzten Falle hat man also auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral den Beitrag
(6) |
hinzuzufügen.
Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate bieten zunächst die Mittel dar, die im §. 18 aufgestellte Behauptung zu
beweisen, dass durch die partielle Differentialgleichung von Laplace [§.18: (1)], durch eine der Gleichungen [§.18: (2), (3), (4), (5)] und die vier Nebenbedingungen [§. 18: (6), (7), (8), (9)] die Potentialfunction vollständig und eindeutig bestimmt ist.
Um diesen Beweis zu führen, setzen wir fest, dass der ganze unendliche Raum sein soll. Die Hülfsfunction hat in diesem Falle einen sehr einfachen Ausdruck, nemlich