Schwere, Elektricität und Magnetismus:112

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 25.

dies lässt sich kürzer schreiben

$-a^{4}\,l\,d\left({\frac {\sigma }{a^{2}}}\right)=2\,a^{2}\,\varepsilon .$

Folglich ist

$dX=-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {x}{a^{2}+\sigma }}.$

Dies ist die eine Componente der Anziehung, welche die unendlich dünne ellipsoidische Schicht auf den äusseren Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausübt. Wir wollen sie mit $\Xi \,$ bezeichnen. Die beiden anderen Componenten $\mathrm {H} \,$ und $\mathrm {Z} \,$ finden sich durch Buchstabenvertauschung. Also hat man

(6)	$\Xi =-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {x}{a^{2}+\sigma }},$ $\mathrm {H} =-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {y}{b^{2}+\sigma }},$ $\mathrm {Z} =-{\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}\cdot {\frac {z}{c^{2}+\sigma }}.$

Hieraus ergibt sich die Gesammtkraft $\mathrm {P} \,$, mit welcher der Punkt $(x,\,y,\,z)$ von der unendlich dünnen Schicht angezogen wird:

$\mathrm {P} ={\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta \,l}}{\sqrt {\left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\right)^{2}}},$

d. h. kürzer

(7)	$\mathrm {P} ={\frac {4\,\pi \,\rho \,\varepsilon }{\Delta {\sqrt {l}}}}.$

Die Winkel, welche die Richtung von $\mathrm {P} \,$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst, finden sich aus den Gleichungen:

$\cos(x\,\mathrm {P} )={\frac {-x}{a^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos(y\,\mathrm {P} )={\frac {-y}{b^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}},$ $\cos(z\,\mathrm {P} )={\frac {-z}{c^{2}+\sigma }}:{\sqrt {l}}.$

 Diese Gleichungen sind leicht zu interpretiren. Legt man im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an die Fläche (3) die Tangentialebene, so lautet deren Gleichung

${\frac {x}{a_{1}^{2}}}\xi +{\frac {y}{b_{1}^{2}}}\eta +{\frac {z}{c_{1}^{2}}}\zeta -1=0,$