Schwere, Elektricität und Magnetismus:145

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

 Führt man dies in die partielle Differentialgleichung (1) ein, so erhält man, nach Wegwerfung des Factors $r^{-{\frac {1}{2}}}$:

(5)	${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-{\frac {1}{4}}u+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

Ist

(6)	$u=F(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )$

eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, so kann man darin $\lg r\,$ ersetzen durch $const.-\lg r\,$ und erhält dadurch eine neue Lösung. Man überzeugt sich davon leicht, wenn man bemerkt, dass in (5) nur $(d\,\lg r)^{2}$ vorkommt. Es ist also auch

(7)	$u_{1}=c\cdot F(\lg r_{1},\,\theta ,\,\varphi )$

eine Lösung, wenn $\lg r+\lg r_{1}=const.\,$ genommen wird.

 Gehört nun $r\,$ zu einem Punkte innerhalb der Kugel, so lässt es sich leicht einrichten, dass $r_{1}\,$ einem äusseren Punkte angehört. Man hat nur

(8)	$\lg r+\lg r_{1}=2\,\lg a,$ d. h. $r\,r_{1}=a^{2}$

zu setzen. Zwei solche Punkte, welche auf demselben Radius vector liegen, und deren Abstände vom Mittelpunkte $r\,$ und $r_{1}\,$ der Gleichung (8) Genüge leisten, sollen der eine der Bildpunkt des anderen genannt werden.

 Vermöge der Gleichungen (6), (7) und (8) ist es nun leicht, die Function $u\,$ über die Oberfläche der Kugel hinaus so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall der partiellen Differentialgleichung (5) genügt, und dass sie in der Oberfläche der Kugel $(r=a)\,$ an jeder Stelle den Werth Null annimmt.

 Man braucht nur die Bestimmung zu treffen, dass die Functionswerthe $u\,$ und $u_{1}\,$ einander entgegengesetzt gleich sein sollen für zwei Punkte $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ und $(r_{1},\,\theta ,\,\varphi )$, von denen der eine des anderen Bildpunkt ist. Also

(9)	$F(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )=-F(2\,\lg a-\lg r,\,\theta ,\,\varphi ).$

Daraus geht zunächst hervor

(10)	$F(\lg a,\,\theta ,\,\varphi )=0.$

Ferner, wenn man mit $F'\,$ die Derivirte nach $\lg r\,$ bezeichnet:

(11)	$F'(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )=F(\lg {\frac {a^{2}}{r}},\,\theta ,\,\varphi ).$