Schwere, Elektricität und Magnetismus:146

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 30.

Für $r=a\,$ zeigt sich, dass die Derivirte in der Oberfläche denselben Werth annimmt, der Punkt mag von aussen oder von innen in die Oberfläche hineinrücken.

 Durch die Bestimmung, die wir über die Fortsetzung der Function $u\,$ getroffen haben, wird auch $U\,$ über die Kugeloberfläche vom Radius $a\,$ nach aussen fortgesetzt. Und zwar genügt bei dieser Art der Fortsetzung die Function $U\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat in der Oberfläche $(r=a)\,$ an jeder Stelle den Werth Null. Es ist also nur noch darauf Acht zu geben, dass $U\,$ überall endlich und stetig variabel sein soll, ausser in dem Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ und in seinem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$.

 Bezeichnen wir mit $U\,$ und $U_{1}\,$ die Werthe der Function $U\,$ für zwei gegenseitige Bildpunkte, so findet sich aus (9) und (4):

$r_{1}^{\frac {1}{2}}\,U_{1}=-r^{\frac {1}{2}}\,U=-a\,r_{1}^{-{\frac {1}{2}}}\,U,$

also

(12)	$U_{1}=-{\frac {a}{r_{1}}}U.$

 Diese Relation lässt sich zur Herstellung des Ausdruckes für die Function $U\,$ verwerthen, wenn man noch ihr Verhalten in der Nähe des Unstetigkeitspunktes im Innern und seines äusseren Bildpunktes beachtet. Es seien $r',\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten des inneren Unstetigkeitspunktes und $r_{1}',\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten seines äusseren Bildpunktes, so dass $r'\,r_{1}'=a^{2}$. Ferner seien $r'+\varepsilon ,\,\theta ',\,\varphi '$ und resp. $r_{1}'-\varepsilon _{1},\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten von zwei gegenseitigen Bildpunkten, welche mit den Unstetigkeitspunkten auf demselben Radius vector liegen. Nehmen wir $\varepsilon \,$ unendlich klein, so hat die Function im Punkte $(r'+\varepsilon ,\,\theta ',\,\varphi )$^[1] den Werth

(13)	$U={\frac {1}{\varepsilon }}+f.\,c.,$

wenn mit $f.\,c.$ eine Function bezeichnet wird, welche für $\varepsilon =0$ endlich und stetig bleibt. In dem äusseren Bildpunkte $(r_{1}'+\varepsilon _{1},\,\theta ',\,\varphi ')$ erhält man nach Gleichung (12)

$U_{1}=-{\frac {a}{r_{1}'-\varepsilon _{1}}}\cdot {\frac {1}{\varepsilon }}+\varphi .\,c.,$

wenn $\varphi .\,c.$ eine Function bezeichnet, welche für $\varepsilon =0\,$ endlich und stetig bleibt. Nun ist aber

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1. WS: Sollte $\varphi '\,$ lauten.