Schwere, Elektricität und Magnetismus:151

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 137
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

 Setzt man dies in Gleichung (4) ein, so erhält man

(6)	$4\;\pi \;V'=\pm a(r'^{2}-a^{2})\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \;d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}},$

und es gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem $r'^{2}-a^{2}\!$ positiv oder negativ ist.

 Es fragt sich, welchen Werth $V'\!$ annimmt für $r'=a\!$. Dies ist leicht vorauszusagen, wenn man daran denkt, dass der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ auf der Polaraxe liegt $(x'=0,\,y'=0,\,z'=r)$. Für $r'=a\!$ rückt er also in den Pol der Kugeloberfläche, und für diesen ist $\theta '=0\!$ und $\varphi '\!$ beliebig. Es muss also dann $V'\!$ in den Werth übergehen, den $f(\theta ,\,\varphi )\!$ für $\theta =0\!$ annimmt, und dieser Werth muss von $\varphi \!$ unabhängig sein. Wir wollen zeigen, dass das wirklich aus der Gleichung (6) sich ergibt.

 Wir setzen zur Abkürzung

${\frac {1}{2\,\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\theta ,\,\varphi )d\varphi =F(\theta ).$

Dann ist $F(\theta )\!$ der Mittelwerth von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\,\varphi )\!$ auf dem Parallelkreis von der Poldistanz $a\,\theta \!$ annimmt. Bei dieser abgekürzten Schreibweise geht die Gleichung (6) in folgende über:

$2\,V'=\pm a(r'^{2}-a^{2})\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F(\theta )\sin \theta \;d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\,$

 Betrachten wir zunächst das unbestimmte Integral, so gibt die Integration nach Theilen:

${\begin{aligned}&\int F(\theta )\left\lbrace a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta \right\rbrace ^{-{\frac {3}{2}}}d(-\cos \theta )\\=&-F(\theta ){\frac {(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{-{\frac {1}{2}}}}{a\;r'}}\\&+{\frac {1}{a\;r'}}\int {\frac {F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Geht man also zu der Integration zwischen den vorgeschriebenen Grenzen $0\!$ und $\pi \!$ über, so findet sich