Schwere, Elektricität und Magnetismus:152

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 138
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Zweiter Abschnitt. §. 32.

${\begin{aligned}2\,V'=&\mp {\frac {r'-a}{r'}}\,F(\pi )\pm {\frac {1}{r'}}{\frac {(r'^{2}-a^{2})}{\pm (r'-a)}}\,F(0)\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

In dieser Gleichung gelten überall gleichzeitig die oberen Zeichen, wenn $r'>a\!$, und die unteren, wenn $r'<a\!$ ist. Die Gleichung lässt sich kürzer schreiben:

(7)	${\begin{aligned}2\;V'=&\mp {\frac {r'-a}{r'}}\,F(\pi )+{\frac {r'+a}{r'}}\,F(0)\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Soll nun $r'=a\!$ gesetzt werden, so erhält man

$2\;V=2\;F(0)\pm \lim \,{\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )}{2\;a\sin {\frac {1}{2}}\,\theta }}\,d\theta .$

Das letzte Integral hat dann, aber auch nur dann, einen endlichen Werth, wenn $F'(0)=0\!$ ist. Wir wollen nachher zeigen, dass diese Bedingung im allgemeinen erfüllt ist. Unter dieser Voraussetzung reducirt sich die letzte Gleichung auf folgende:

$V=F(0)={\frac {1}{2\;\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\theta ,\,\varphi )\,d\varphi$ für $\theta =0.\!$

Der letzte Ausdruck ist aber das arithmetische Mittel von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\,\varphi )$ auf einem Parallelkreis von unendlich kleiner Poldistanz annimmt, d. h. da $f(\theta ,\,\varphi )$ einwerthig vorausgesetzt ist, gleich dem Werthe dieser Function im Pole selbst. Und das war zu beweisen.

§. 32. Fortsetzung: Die Dichtigkeit in jedem Punkte der Oberfläche.

 Für die Dichtigkeit haben wir die Gleichung abgeleitet

(1)	$-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0}.$