Schwere, Elektricität und Magnetismus:158

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 34.

$4\;\pi \lbrace U_{\varepsilon '}(\varepsilon )-U_{\varepsilon }(\varepsilon ')\rbrace =0$

oder kürzer

(3)	$U_{\varepsilon '}(\varepsilon )=U_{\varepsilon }(\varepsilon ').$

 D. h. die Function $U\!$ ist eine symmetrische Function von $(x,\,y,\,z)$ und von $(x',\,y',\,z')$.

§. 34. Eindeutige Existenz der Function $U\!$. Dirichlet's Princip.

 Die Herstellung der Potentialfunction ist zuerst von Green auf die Herstellung der Function $U\!$ zurückgeführt in der oben (§. 20) citirten Abhandlung: an essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Green gibt aber keinen Beweis dafür, dass für jede Gestalt des Raumes $S\!$ auch wirklich eine Function $U\!$ und nur eine existirt, die den gestellten Bedingungen Genüge leistet. Er beruft sich einfach auf die physikalische Bedeutung der Function $U\!$.*)^[1] Diese Lücke hat Gauss ausgefüllt.**)^[2] Er bezeichnet mit $U\!$ eine Grösse, die in jedem Punkte der Oberfläche von $S\!$ einen bestimmten, endlichen, nach der Stetigkeit sich ändernden Werth hat, und mit $V\!$ die Potentialfunction einer über dieselbe Oberfläche auszubreitenden Masse $M\!$. Die Ausbreitung der Masse darf so geschehen, dass die Dichtigkeit $\rho \!$ entweder überall positiv ist, oder dass sie in einzelnen Theilen der Fläche auch negativ sein kann. In dem zweiten Falle ist $M\!$ die algebraische Summe der positiven und der negativen Massen. Gauss beweist dann, dass es allemal eine und nur eine Vertheilung der Masse gibt, bei welcher die Differenz $V-U\!$ in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth hat, und dass die Gesammtmasse $M\!$ so gewählt werden kann, dass dieser constante Werth $=0\!$ ist. Bezeichnet man nun mit $r\!$ den Abstand eines Punktes der Oberfläche von dem gegebenen Unstetigkeitspunkte im Innern von $S\!$, so hat $-{\frac {1}{r}}$ die Eigenschaften, welche

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1. *) Green. An essay on the application etc. Art. 5. (Crelle, Bd. 44, S. 366, 367.) „To convince ourselves that there does exist a function as we have supposed U to be, conceive the surface to be a perfect conductor put in communication with the earth and a unit of positive electricity to be concentrated in the point p', then the total potential function arising from p' and from the electricity it will induce upon the surface, will be the required value of U.“
2. **) Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 31 bis 34.