Schwere, Elektricität und Magnetismus:159

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 145
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Eindeutige Existenz der Function . Dirichlet's Prinzip.


Gauss seiner Function zuschreibt. Man darf also den Satz von Gauss speciell so aussprechen: Auf der Oberfläche eines gegebenen Raumes lassen sich immer in einer und nur in einer Weise entweder positive, oder theils positive, theils negative Massen so ausbreiten, dass die Function für jeden Punkt der Oberfläche den Werth Null hat. Diese Function befriedigt alle Bedingungen, welche Green für seine Function aufstellt.

 Dieser Beweis ist, wie man sieht, nicht rein analytisch. Seine Einkleidung ist der Theorie der Potentialfunction selbst entnommen. Einen rein analytischen Beweis hat später Dirichlet gegeben.*)[1]

 Der Satz von Dirichlet lautet:

 Ist die Function einwerthig, endlich und stetig variabel für jeden Punkt in der Oberfläche eines begrenzten Raumes gegeben, so lässt sie sich immer und nur auf eine Weise für das Innere so bestimmen, dass sie auch da einwerthig, endlich und stetig variabel ist und der partiellen Differentialgleichung


(1)


Genüge leistet.

 Um diesen Satz zu beweisen, bilden wir das über den Raum auszudehnende Integral


(2)


 Darin soll mit eine Function bezeichnet werden, die in der Oberfläche des Raumes überall mit der gegebenen Function übereinstimmt, die aber im Innern des Raumes nur an die Bedingung geknüpft ist, dass sie selbst und ihre ersten Derivirten überall einwerthig, endlich und stetig variabel seien. Solcher Functionen gibt es unendlich viele. Bezeichnet man eine von ihnen mit so lässt jede andere sich in die Form bringen



wenn eine passend zu wählende Constante bedeutet und eine


  1. *) In seinen Vorlesungen über die dem umgekehrten Quadrat der Entfernung proportional wirkenden Kräfte.