Schwere, Elektricität und Magnetismus:167

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 153
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Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.

links und rechts durch Addition und integriren nach $t\!$. Dadurch ergibt sich

(2)	${\frac {1}{2}}\,m\left\{\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right\}$

$={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.$

Wir bezeichnen mit $s\!$ die Länge der Bahn, welche der materielle Punkt bis zum Ablauf der Zeit $t\!$ durchlaufen hat, so dass $s=0\!$ ist für $t=0\!$. Dann haben wir $\!ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$, und die Gleichung (2) geht über in

(3)	${\frac {1}{2}}\,m\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung können wir auch $s\!$ als Integrations-Variable einführen und unter dem Integralzeichen schreiben

$\left(X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}\right)ds.$

Hier sind ${\frac {dx}{ds}},\,{\frac {dy}{ds}},\,{\frac {dz}{ds}}$ die Cosinus der Winkel, welche das Bahnelement $ds\!$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Bezeichnet man nun ferner mit $\alpha \!$, $\beta \!$, $\gamma \!$ die Winkel, welche die Richtung von $K\!$ mit den Richtungen der Componenten bildet, so findet sich

$X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}$ ${\begin{aligned}&=K\,\left({\frac {dx}{ds}}\,\cos \alpha +{\frac {dy}{ds}}\,\cos \beta +{\frac {dz}{ds}}\,\cos \gamma \right)\\&=K\,\cos(K\,s).\\\end{aligned}}$

Dabei ist unter $(K\,s)\!$ der Winkel zu verstehen, welchen die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ angelegte Tangente der Bahn mit der Richtung der bewegenden Kraft einschliesst.

 Die Gleichung (3) lautet hiernach in anderer Form

(4)	${\frac {1}{2}}\,m\,\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int K\,\cos(K\,s)\,ds.$

Wir bezeichnen die Geschwindigkeit ${\frac {ds}{dt}}$ mit $v\!$ und den Werth, den sie zur Zeit $t=0\!$ hat, mit $v_{0}\!$. Nehmen wir die bestimmte Integration vor und setzen für die Zeit die Grenzen $0\!$ und $t\!$, also für den Weg die Grenzen $0\!$ und $s\!$ fest, so ergibt sich