Schwere, Elektricität und Magnetismus:168

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Dritter Abschnitt. §. 36.

(5)	${\frac {1}{2}}m\;v^{2}-{\frac {1}{2}}m\;v_{0}^{2}=\int \limits _{0}^{s}K\cos(K\;s)ds.$

In dieser Gleichung spricht sich der Satz aus, dass die in dem Zeitintervall von $t=0\!$ bis $t\!$ gewonnene lebendige Kraft gleich ist der während derselben Zeit verrichteten mechanischen Arbeit. Im allgemeinen ist die Arbeit nicht allein von der Anfangs- und Endlage des bewegten Punktes abhängig, sondern auch von der Bahn, die er durchläuft. Sie setzt sich ja aus allen den Producten zusammen, die man erhält, wenn jedes Bahnelement mit der in seine Richtung fallenden Componente der bewegenden Kraft multiplicirt wird. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die Arbeit für alle Bahnen, die aus einer gegebenen Anfangslage in eine gegebene Endlage überführen, dieselbe ist, dass sie nur von der Anfangs- und Endlage des bewegten Punktes abhängig ist. Dieser Fall tritt ein, wenn die Componenten $X,\,Y,\,Z$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $m\;V\!$sind, welche direct nur von $x,\,y,\,z$ abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. In diesem Falle geht die Gleichung (3) über in

(6)	${\frac {1}{2}}m\;v^{2}={\text{const.}}+m\;V,$

und die Gleichung (5) geht über in

(7)	${\frac {1}{2}}m\;v^{2}-{\frac {1}{2}}m\;v_{0}^{2}=m(V-V_{0}).$

Dabei ist $V_{0}\!$ der Werth, welchen die Function $V\!$ annimmt, wenn man den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des bewegten Punktes ihre Anfangswerthe beilegt.

 In den Gleichungen (6) und (7) spricht sich der Satz aus:

 Wenn die Componenten $X,\,Y,\,Z$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen Derivirten derselben Function $m\;V$ sind, welche direct nur von $x,\,y,\,z$ abhängt, so ist die während einer Bewegung gewonnene lebendige Kraft gleich der Differenz der Werthe, welche die Function $m\;V$ in der Anfangs- und in der Endlage des bewegten Punktes annimmt.

 Dieser Satz ist das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.