Schwere, Elektricität und Magnetismus:200

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 186
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

 

Vierter Abschnitt. §. 47.

die Elektricitätsmengen auf den einzelnen Leitern sein würden, wenn alle ableitend berührt sind und nur die Ladungen der Isolatoren wirken.

 Es lässt sich beweisen, dass $\mu _{iq}=\mu _{qi}\!$ ist. Nehmen wir nemlich das Integral

$\int \left(u_{i}\,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}-u_{q}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\right)d\sigma ,$

ausgedehnt über sämmtliche Leiter-Oberflächen, so ist der Werth desselben nach dem Satze von Green gleich Null. Das Integral reducirt sich aber wegen der Eigenschaften der Functionen $u\!$ auf die Differenz

$\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}-\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q},$

wobei das erste Integral nur über die Oberfläche des $i\!$ten, das zweite nur über die Oberfläche des $q\!$ten Leiters zu erstrecken ist. Demnach haben wir

$\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}-\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q}=0,$

oder

${\frac {1}{4\pi }}\,\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}={\frac {1}{4\pi }}\,\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q},$

d. h. nach Gleichung (3):

(6)	$\mu _{iq}=\mu _{qi}.\,$

 Lösen wir die Gleichungen (5) in Beziehung auf $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}\,$ als Unbekannte auf, so ergibt sich

(7)

${\begin{alignedat}{2}a_{1}=\alpha _{11}m_{1}+\alpha _{12}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{1k}m_{k}+\beta _{1}&,\\a_{2}=\alpha _{21}m_{1}+\alpha _{22}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{2k}m_{k}+\beta _{2}&,\\\qquad \cdot \qquad \cdot \qquad \cdot \qquad &\dotsb \qquad \cdot \qquad \cdot &,\\a_{k}=\alpha _{k1}m_{1}+\alpha _{k2}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{kk}m_{k}+\beta _{k}&.\\\end{alignedat}}$

 Die Coefficienten $\alpha \!$ genügen in Folge der Gleichung (6) den Bedingungen, dass

(8)	$\alpha _{iq}=\alpha _{qi}.\,$

§. 47. Bewegung der Leiter. Das elektrostatische Potential.

 Sind die Leiter beweglich, so ändern sie in Folge der elektrischen Anziehung und Abstossung ihre Lage. Für jede neue Lage der Leiter ist aber auch die Gleichgewichtslage der elektri-