Schwere, Elektricität und Magnetismus:224

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Vierter Abschnitt. §. 52.

$\int \limits _{0}^{1}t^{k-1}dt={\frac {1}{k}}.$

Folglich können wir schreiben

$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {b}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}\left(t^{k+{\frac {b}{c}}-1}-t^{k}\right)dt$ $=\int \limits _{0}^{1}\left(t^{{\frac {b}{c}}-1}-1\right)dt\sum _{0}^{\infty }t^{k}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {a}{c}}}-1}{1-t}}dt.$

Benutzt man dies für Gleichung (10), so erhält man schliesslich:

(12)	$M_{1}+M_{4}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {a}{c}}}-1}{1-t}}dt.$

 In entsprechender Weise verfahren wir zur Berechnung von $M_{2}+M_{3}\!$. Das Resultat lautet:

(13)	${\begin{aligned}M_{2}+M_{3}&=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {a}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=-{\frac {a\,b^{2}\,g}{c^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{\left(k+{\frac {a}{c}}\right)(k+1)}}\right).\\\end{aligned}}$

Auch hier kann man die unendliche Reihe durch ein bestimmtes Integral summiren, nemlich:

(14)	$M_{2}+M_{3}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {b}{c}}}-1}{1-t}}dt.$

Nun lassen sich auch die richtigen Ausdrücke für die Potentialfunctionen $V'_{1}+V'_{4}\!$ und $V'_{2}+V'_{3}\!$ leicht herstellen. Zunächst hat man:

${\begin{aligned}V'_{1}+V'_{4}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{\sqrt {(x-x''''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.\\\end{aligned}}$