Schwere, Elektricität und Magnetismus:225

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 211
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Die Kugeln berühren sich.

Die beiden Reihen, einzeln genommen, sind divergent. Die erste hat lauter positive, die zweite lauter negative Glieder. Vereinigt man die Glieder zu den Bestandteilen einer einzigen Reihe, so kann man je nach der Anordnung jede beliebige Summe zu Stande bringen. Nach der Natur der Aufgabe hat man aber für irgend einen gegebenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ nur einen bestimmten Werth zu erwarten. Folglich kann auch nur eine einzige Anordnung der Glieder die richtige sein, und man sieht leicht, dass es diejenige ist, für welche die Gleichung (7) den richtigen Werth von $M_{1}'+M_{4}'\!$ liefert. Da dieser nun schon bekannt ist, so hat es keine Schwierigkeit, jene allein richtige Anordnung ausfindig zu machen. Man erhält:

(15)	$V'_{1}+V'_{4}\,$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\frac {-m_{k}'}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {m_{k+1}''''}{\sqrt {(x-x''''_{k+1})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right\rbrace$

und in entsprechender Weise:

(16)	$V'_{2}+V'_{3}\,$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\frac {-m_{k}'''}{\sqrt {(x-x'''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {m_{k+1}''}{\sqrt {(x-x''_{k+1})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right\rbrace .$

Die Reihen in (15) und (16) sind convergent, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in einen Unstetigkeitspunkt der ersten, resp. der zweiten Kugel fällt.

 Ueber die Integrale (12) und (14) ist noch eine Bemerkung zu machen. Die Integration lässt sich nemlich in geschlossener Form ausführen, wenn ${\frac {a}{c}}$ (und folglich auch ${\frac {b}{c}}$) ein rationaler Bruch ist. Es sei ${\frac {a}{c}}\,=\,{\frac {p}{q}}$, so dass $p\!$ und $q\!$ ganze Zahlen, und zwar relative Primzahlen sind. Dann setze man in $t=s^{q}\!$. Dadurch erhält man

(12*)

$M_{1}+M_{4}=-q\,{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {s^{q-p-1}-s^{q-1}}{1-s^{q}}}\,ds.$

Ebenso ergibt sich aus (14)

(14*)

$M_{2}+M_{3}=-q\,{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {s^{p-1}-s^{q-1}}{1-s^{q}}}\,ds.$

Die Integration geschieht dann nach bekannten Methoden durch Zerlegung in Partialbrüche.