Schwere, Elektricität und Magnetismus:253

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 239
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Die Arbeit in dem besonderen Falle des §. 60.

§. 63. Die Arbeit in dem besonderen Falle des §. 60.

 Wir kehren zu der Untersuchung der §§. 57, 58, und 59 zurück unter der besonderen Voraussetzung des §. 60, dass nemlich die elektromotorischen Kräfte $\varepsilon \Xi ,\varepsilon \mathrm {H} ,\varepsilon \mathrm {Z} \!$ nur in der unendlich dünnen Grenzschicht an der Berührungsstelle von zwei heterogenen Bestandtheilen des Leiters auftreten. Unter dieser Voraussetzung geht die Gleichung (7) des §. 59 in folgende über:

(1)	${\frac {dA}{dt}}=\iiint \left\lbrace i_{1}\,{\frac {\partial V}{\partial x}}+i_{2}\,{\frac {\partial V}{\partial y}}+i_{3}\,{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\rbrace dx\,dy\,dz.$

Hier ist $dx\,dy\,dz$ ein Raumelement im Innern des Leiters, und die Integration ist über den ganzen von dem Leiter ausgefüllten Raum zu erstrecken. Nun haben wir aber die identischen Gleichungen:

$i_{1}\,{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {\partial (i_{1}\,V)}{\partial x}}-V\,{\frac {\partial i_{1}}{\partial x}},$ $i_{2}\,{\frac {\partial V}{\partial y}}={\frac {\partial (i_{2}\,V)}{\partial y}}-V\,{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}},$ $i_{3}\,{\frac {\partial V}{\partial z}}={\frac {\partial (i_{3}\,V)}{\partial z}}-V\,{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}.$

Danach lässt die Gleichung (1) sich transformiren. Wir erhalten:

(2)

${\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}=&-\iiint V\left({\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int d\sigma \cdot V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right).\\\end{aligned}}$

In dieser Gleichung erstreckt sich das erste Integral auf den ganzen von dem Leiter erfüllten Raum, das zweite auf seine gesammte Oberfläche, d. h. auf die isolirte freie Oberfläche und auf die Hüllen der Unstetigkeitsflächen. Diese Unstetigkeitsflächen sind hier die Flächen, in denen je zwei heterogene Leiterbestandtheile an einander stossen. Mit $n\!$ ist die auf dem Flächenelement $d\sigma \!$ nach dem Innern des Leiters gezogene Normale bezeichnet.

 Für den Beharrungszustand, den wir voraussetzen, ist im Innern des Leiters an jeder Stelle:

(3)	${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0$