Schwere, Elektricität und Magnetismus:338

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Achter Abschnitt. §. 97.

Hier ist dieselbe Transformation wie im §. 39 auszuführen. Dadurch ergibt sich

(2)

${\begin{aligned}-\delta \int _{0}^{t}Tdt&=m\int _{0}^{t}\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right)dt\\&+m_{1}\int _{0}^{t}\left({\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}\delta x_{1}+{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}\delta y_{1}+{\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}\delta z_{1}\right)dt.\\\end{aligned}}$

Ferner haben wir

${\begin{aligned}\delta \int _{0}^{t}Sdt&=\varepsilon \varepsilon '\int _{0}^{t}{\frac {\delta r}{r^{2}}}dt.\\\,\\\delta \int _{0}^{t}(-D)dt&={\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}\int _{0}^{t}{\frac {\delta r}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}dt\\&-2{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}\int _{0}^{t}{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\delta r}{dt}}dt.\\\end{aligned}}$

Das letzte Integral ist noch zu transformiren. Die Integration nach Theilen gibt

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\delta r}{dt}}dt=&{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}\delta r\\&-\int {\frac {d\left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}\right)}{dt}}\delta rdt.\\\end{aligned}}$

Bei der Einsetzung der Grenzen fällt der freie Theil heraus, weil $\delta r=0\,$ ist zu Anfang und zu Ende der Bewegung. Folglich erhalten wir

${\begin{aligned}\int _{0}^{t}{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\delta r}{dt}}dt=&-\int _{0}^{t}{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\delta rdt\\&+\int _{0}^{t}{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}\delta rdt.\\\end{aligned}}$

und deshalb