Schwere, Elektricität und Magnetismus:360

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 346
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Neunter Abschnitt. §. 108.

Handelt es sich dagegen um einen Punkt im Innern der Erde, so berechnen wir nach Gleichung (7) des vorigen Paragraphen

${\frac {\partial V}{\partial r}}=-\sum _{n=0}^{\infty }nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n-1},\,$

$r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=-a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n+1},\,$

${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}.\,$

Im einen wie im anderen Falle ist dies in die partielle Differentialgleichung (1) einzuführen. Die Differentiationen nach $\theta \,$ und $\varphi \,$ treffen nur die Functionen $Q_{n}\,$. Nachdem auch diese Differentiationen vorschriftsmässig bewirkt und die Resultate der Rechnung in (1) eingesetzt sind, hat man für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $r\,$ multiplicirt ist. Dadurch erhält man für einen äusseren wie für einen inneren Punkt in gleicher Weise die partielle Differentialgleichung

(2)	$n(n+1)Q_{n}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\sin \theta \partial \theta }}\ =\ 0.$

Eine Function $Q_{n}\,$, welche dieser partiellen Differentialgleichung Genüge leistet, wird eine Kugelfunction $n\,$ten Ranges genannt.

 Um zu einer Entwicklung dieser Function zu gelungen, erinnern wir uns daran, dass $Q_{n}\,$ eine ganze Function $n\,$ten Grades von $\cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,$ ist, dass also in dem zu bildenden Ausdrucke nur Potenzen mit ganzen, positiven Exponenten auftreten können und überhaupt kein Exponent grösser als $n\,$. Nun lassen sich aber die Potenzen von $\cos \varphi \,$ und von $\sin \varphi \,$ durch die Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\varphi \,$ ausdrücken, und da keine höhere Potenz als die $n\,$te vorhanden ist, so wird auch höchstens das $n\,$fache von $\varphi \,$ auftreten.

 Wir setzen deshalb

(3)	${\begin{aligned}Q_{n}=G_{n0}&+G_{n1}\cos \varphi +G_{n2}\cos 2\varphi +\ldots +G_{nn}\cos n\varphi \,\\&+H_{n1}\sin \varphi +H_{n2}\sin 2\varphi +\ldots +G_{nn}\sin n\varphi \,\\\end{aligned}}$

und führen diesen Ausdruck in die partielle Differentialgleichung (2) ein. Dadurch ergibt sich eine Reihe, geordnet nach Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\varphi \,$, bis zum $n\,$fachen, und der Werth