Schwere, Elektricität und Magnetismus:361

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 347
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Die Kugelfunction ten Ranges.


dieser Reihe soll Null sein. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass man für sich gleich Null setze, was mit und was mit multiplicirt ist, und zwar für jedes ganze von bis .

 Durch Ausführung der Rechnung ergeben sich zur Bestimmung von und von die gewöhnlichen Differentialgleichungen




Beide Gleichungen sind in derselben Form enthalten, nemlich in der Form


(4)


Nun bemerken wir, dass und in der Gleichung (3) mit und resp. multiplicirt auftreten. Dem Cosinus und dem Sinus von entspricht aber als höchste Potenz von und resp. die te Potenz. Da nun in dem Ausdrucke für die letztgenannten beiden Functionen nur in der Verbindung


und


auftreten, so hat man sich darauf gefasst zu machen, dass in der gemeinschaftliche Factor auftreten werde.

 Wir setzen also


(5)


und erhalten zur Bestimmung der Function aus (4) die Differentialgleichung


(6)


wenn zur Abkürzung gesetzt wird. Die Form dieser Gleichung weist uns darauf hin, eine Entwicklung nach absteigenden Potenzen von mit der Exponentundifferenz vorzunehmen:


(7)


Führt man dies in (6) ein, so ist die höchste dort auftretende Potenz von . Dieselbe ist multiplicirt mit