Schwere, Elektricität und Magnetismus:362

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 348
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Neunter Abschnitt. §. 108.

Ferner ist dann $u^{p-2k}\,$ multiplicirt mit

$A_{2k}\lbrace n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)(p-2k)-(p-2k)(p-2k-1)\rbrace \,$ $+A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1).\,$

Soll aber die Gleichung (6) erfüllt sein, so ist für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $u\,$multiplicirt ist. Es ist also zunächst

$n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)p-p(p-1)=0.\,$

Dies liefert zwei Werthe von $p\,$, nemlich

$p_{1}=n-m\,$ und $p_{2}=-n-m-1,\,$

und dem entsprechend erhalten wir zwei von einander unabhängige particuläre Integrale. Das zweite ist für unsern Zweck nicht brauchbar, da. die Exponenten von $u\,$ negativ sind und deshalb das Integral unendlich wird für $\theta ={\frac {1}{2}}\pi \,$.

 Es ist ferner

$A_{2k}\lbrace n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)(p-2k)-(p-2k)(p-2k-1)\rbrace \,$ $=-A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1)\,$

zu setzen, oder, wenn man die Bedingung für $p\,$ berücksichtigt:

$A_{2k}\cdot 2k(2m+2p-2k+1)=-A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1).\,$

Danach haben wir für das erste particuläre Integral die Coefficenten-Bestimmung

(8)	$A_{2k}=(-1)^{k}{\frac {(n-m)(n-m-1)(n-m-2)\ldots (n-m-2k+1)}{2\cdot 4\cdot 6\dotsb 2k(2n-1)(2n-3)\ldots (2n-2k+1)}},\,$

und dieses erste particuläre Integral selbst liefert die für unsern Zweck allein brauchbare Function

(9)	$Q_{nm}=\sin \theta ^{m}\lbrace \cos \theta ^{n-m}+A_{2}\cos \theta ^{n-m-2}+A_{4}\cos \theta ^{n-m-4}\,$ $+\ldots +A_{2k}\cos \theta ^{n-m-2k}+\ldots \rbrace .\,$

Hiernach ergibt sich für $Q_{n}\,$ die Entwicklung

(10)	${\begin{aligned}Q_{n}\ =\ g_{n0}Q_{n0}&+Q_{n1}(g_{n1}\cos \varphi +h_{n1}\sin \varphi )\,\\&+\ Q_{n2}(g_{n2}\cos 2\varphi +h_{n2}\sin 2\varphi )\,\\&+\ldots \,\\&+\ Q_{nn}(g_{nn}\cos n\varphi +h_{nn}\sin n\varphi ).\,\\\end{aligned}}$

Die Functionen $Q_{n0},\ Q_{n1},\ Q_{n2},\ldots Q_{nn}\,$ sind durch die Gleichungen (9) und (8) vollständig gegeben, und es treten in dem Aus-