Schwere, Elektricität und Magnetismus:365

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 351
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Fundamentalsatz für die Entwicklung nach Kugelfunctionen.

Hier ist über die Function $f(\theta ,\varphi )\,$ rein analytisch nichts weiter vorausgesetzt, als dass sie willkürlich gegeben ist, aber einwerthig und endlich für jede Werthencombination von $\theta \,$ und $\varphi \,$ innerhalb der vorgeschriebenen Grenzen. Folglich gilt die Gleichung (4) für jede Function $f(\theta ,\varphi )\,$ , welche diese Eigenschaft besitzt. Denn man kann jeder solchen Functiou die in §. 106, Gleichung (6) ausgesprochene physikalische Bedeutung unterlegen, und dann gelten die Entwicklungen, welche zu der Gleichung (4) dieses Paragraphen führen.

Es lässt sich also jede Function von $\theta \,$ und $\varphi \,$ , die von $\theta =0\,$ bis $\theta =\pi \,$ und von $\varphi =0\,$ bis $\varphi =2pi\,$ willkürlich, aber einwerthig und endlich gegeben ist, in eine nach Kugelfunctionen fortschreitende Reihe entwickeln. Bezeichnen wir irgend eine solche Function mit $J(\theta ,\varphi )\,$ , so ist

(5)	${\begin{aligned}J(\theta ,\varphi )&=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n},\\\,\\S_{n}&={\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }d\varphi '\int _{0}^{2\pi }P_{n}\cdot J(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,\\\end{aligned}}$

Der Beweis, den wir hier für diesen wichtigen Satz gegeben haben, ist nicht rein analytisch. Es muss eben für den Gang dieses Beweises der Function $J(\theta ,\varphi )\,$ eine physikalische Bedeutung untergelegt werden. Der Satz lässt sich aber auch rein analytisch beweisen. Das hat Dirichlet gethan.*) ^[1] Er bringt die Summe der $(n+1)\,$ ersten Glieder

S_{0}+S_{1}+S_{2}+\ldots +S_{n}

in geschlossene Form und zeigt, dass für $\lim n=\infty \,$ der Grenzwerth dieser Summe $=J(\theta ,\varphi )\,$ ist.

Dirichlet beweist in derselben Abhandlung noch weiter, dass für jede Function $J(\theta ,\varphi )\,$ nur eine einzige Entwicklung nach Kugelfunctionen möglich ist. Auch dieser Satz ist für uns von Wichtigkeit. Er soll deshalb jetzt bewiesen werden.

Es seien $Q_{n}\,$ und $S_{m}\,$ zwei beliebige Kugelfunctionen vom $n\,$ ten resp. vom $m\,$ ten Range, und es seien $m\,$ und $n\,$ von einander und von Null verschieden. Wir betrachten das Integral

↑ *) Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles etc. (Crelle’s Journal Bd. 17. Seite 35.)

[1] *) Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles etc. (Crelle’s Journal Bd. 17. Seite 35.)

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